Bestimmen Sie die Nullstellen durch Ausklammern und skizzieren Sie die Graphen.

Question

Aufgabe: Bestimmen Sie die Nullstellen durch Ausklammern und skizzieren Sie die Graphen.

a) f(x) =x³+4x²+4x

Problem/Ansatz:

Seit Jahren bin ich schlecht in Mathe. In dem Thema was wir jetzt durchgehend war ich nicht so oft da, aus familiären Gründen. Morgen schreibe ich die Klausur und bin gerade am Übern aber ich komme bei der Aufagrbei nicht weiter kann mir jemand helfen? Vielen Dank schon mal im Voraus!

Answer 1

Aloha :)

Willkommen in der Mathelounge... \o/

Hier kannst du zunächst \(x\) ausklammern und danach die erste binomische Formel rückwärts anwenden:$$f(x)=x^3+4x^2+4x=x\cdot(\underbrace{x^2}_{=a^2}+\underbrace{4x}_{=2ab}+\underbrace{4}_{=b^2})=x\cdot(\underbrace{x}_{=a}+\underbrace{2}_{=b})^2$$

Nach dem Satz vom Nullprodukt ist ein Produkt genau dann null, wenn mindestens ein Faktor gleich null ist. Die Nullstellen liegen daher bei \(x=0\) und bei \(x=-2\).

Answer 2

... und skizzieren Sie die Graphen.

Das funktioniert mit einer Wertetabelle und führt dann zum Graphen.

Answer 3

Sei gegrüßt emmy21, Detli Black hier :)

Ich hoffe es geht dir gut?!

Du hast ein normiertes Polynom gegeben, etwa x^3 + 4x^2 + 4x und fragst dich natürlich, ob es Nullstellen hat. Dabei ist die Frage, über welchen Ring? Ich vermute, etwa der Ring der rationalen Zahlen.

Vielleicht weißt du, dass ein Polynom f n-ten Grades als Produkt von einem Linearfaktor (x-a) und einem anderen Polynom g n-1-ten Grades geschrieben werden kann, sofern a eine Nullstelle von f ist.

Offenbar ist 0 eine Nullstelle deines Polynoms mit Grad 3 und daher kannst du dieses als Produkt des Linearfaktors (x-0) = x und einem anderen Polynom mit Grad 2 schreiben. Du faktorisierst also x und bekommat dann die Zerlegung x^3 + 4x^2 + 4x = x (x^2 + 4x + 4). Ein Produkt von Polynomen hat eine Nullstelle, falls eins der Faktoren eine Nullstelle hat. Der Faktor x hat ja die Nullstelle 0, die Nullstellen des anderen quadratischen Faktors lässt sich mit der quadratischen Lösungsformel berechnen. Das sei nun deine Aufgabe.

Liebe Grüße

Detli Black

Comments

Noch jemand, der mit Begriffen um sich schmeißt, die ein Schüler nicht zwangsläufig verstehen muss, vor allem, wenn dieser nach eigener Aussage schlecht in Mathe ist? Und dann noch so kurz vor der Klausur? Schwierig.

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Also "der Ring der rationalen Zahlen" ist hier too much.

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Sei gegrüßt Apfelmännchen,

ich danke dir für deine Kritik an meiner Antwort für den lieben kleinen emmy21.
Ab und zu tauchen in meinem Wortlaut solche mathematischen Fachbegriffe auf ohne, dass ich es merke (schließlich bin ich Mathematiker). Jedoch versuche ich in der Zukunft darauf zu achten. Ich finde gerade Kritik sehr wichtig, denn wir können nur daraus lernen. Kritik ist wie Brokkoli, denn am Anfang wirkt sie unangenehm, doch ist sie im nachhinein gut für einen.

Liebste Grüße
Detli Black

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Lieber Döschwo,

natürlich kann man auch ,,Körper der rationalen Zahlen‘‘ sagen, was du doch bestimmt meinst, oder? Jedoch ist ein Körper ja auch ein Ring :-)

Herzliche Grüße

Detli Black

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Das hast du wohl falsch verstanden. Begriffe wie Körper oder Ring kommen in der Schulmathematik eher nicht vor, weshalb ein hilfesuchender Schüler damit wohl nichts anfangen kann und der dadurch eher noch verwirrt wird.

Und nur weil man Mathematiker ist, ist man noch lange kein guter Pädagoge bzw. Helfer. Wenn man hier also ernsthaft helfen möchte, dann sollte man sich entsprechend auch auf das Niveau des Fragenstellers begeben. :)

Answer 4

f(x) = x^3 + 4·x^2 + 4·x

x ausklammern

f(x) = x·(x^2 + 4·x + 4)

Klammer mittels 1. binomischer Formel faktorisieren.

f(x) = x·(x + 2)^2

Hilfreich zu erwähnen ist, dass x = 0 eine einfache Nullstelle und x = -2 eine doppelte Nullstelle ist.

Das wäre nützlich, um den Graphen zu skizzieren. Kannst du in der Skizze sehen, wie eine einfache und eine doppelte Nullstelle sich unterscheiden?

~plot~ x*(x+2)^2;{-2|0};{0|0};[[-4|4|-3|3]] ~plot~

Answer 5

Falls man die binomische Formel nicht erkennt, kann man die Gleichung

\(x^2\red{+4}x\green{+4}=0\)

natürlich auch mit der \(\red{p}\green{q}\)-Formel (oder quadratischen Ergänzung lösen):

- halbes \(p\) mit anderem Vorzeichen: \(\red{-2}\)

- dieses Ergebnis quadrieren: \(\red{-2}\pm\sqrt{\red{4}\ldots}\)

- und \(q\) mit anderem Vorzeichen: \(\red{-2}\pm\sqrt{\red{4}\green{-4}}\)

Dann nur noch die Lösungen berechnen. Hier ergibt sich wegen 0 unter der Wurzel dann nur die Lösung \(x=-2\).

Comments

In der Zeile

- dieses Ergebnis quadrieren:

würde ich ein paar Punkte hinzufügen.

\(\red{-2}\pm\sqrt{\red{4}~~ \ldots}\)

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Danke. Das ist eine sinnvolle Ergänzung. :)