Aufgabe: Satz von Liouville
a) Seien \( f, g: \mathbb{C} \to \mathbb{C} \) holomorphe Funktionen mit \( |f(z)| < |g(z)| \) für alle \( z \in \mathbb{C} \). Zeigen Sie, dass es eine komplexe Zahl \( c \in \mathbb{C} \) gibt, so dass \( f = c \cdot g \) gilt.
b) Finden Sie alle holomorphen Funktionen \( f: \mathbb{C} \to \mathbb{C} \), die \( |f'(z)| < |f(z)| \) auf ganz \(\mathbb{C}\) erfüllen.
Problem/Ansatz:
Ich habe die Aufgaben zwar berechnet, allerdings ist es eine 10 punkte Aufgabe und weiß nicht ob die Aufgabe wirklich so einfach sein soll.
Ich würde bei a) so vorgehen:
\(h(z) = \frac{f(z)}{g(z)}\) und dann würde ich \( h(z) \) berechnen.
\(|h(z)| = \left|\frac{f(z)}{g(z)}\right| < 1, \quad \forall z \in \mathbb{C}.\)
\( h(z) \) müsste ja holomorph sein, da \( g(z) \neq 0 \) und auch holomorph ist...
\( h(z) \) ebenfalls beschränkt (\( |h(z)| < 1 \))
Danach habe ich den sat von Liouville versucht anzuwenden. Denn der Satz besagt doch, dass \( h(z) \) konstant...
\(h(z) = c, \quad c \in \mathbb{C}\)
Dementsprechend habe ich es eingesetzt.
\(\frac{f(z)}{g(z)} = c\) und danach umgestellt nach \( f(z) \)
\(f(z) = c \cdot g(z)\)
Und bei Aufgabe b) habe ich es so verstanden:
Ich habe dazu folgendes betrachtet.
\(g(z) = \ln(f(z)) \quad \text{(für \(f(z) \neq 0\))}\). Danach habe ich \(g(z)\) abgeleitet.
\(g'(z) = \frac{f'(z)}{f(z)}\)
Da ich den Logarithmus betrachtet habe, schreibe ich dementsprechend die Bedingungen um.
\(|g'(z)| = \left|\frac{f'(z)}{f(z)}\right| < 1\)
\(g'(z)\) ist holomorph und beschränkt..
Das bedeutet ja , nach satz von Liouville ist \(g'(z)\) konstant.. also \(g'(z) = c, \quad |c| < 1\). Danach habe ich \(g'(z)\) integriert.
\(g(z) = cz + d, \quad d \in \mathbb{C}\)
Rückkehr zu \(f(z)\)...
\(g(z) = \ln(f(z)) \implies f(z) = e^{g(z)}\)
Danach habe ich \(g(z)\) eingesetzt: \(f(z) = e^{cz + d}\)
\(f(z) = e^d \cdot e^{cz}\)
Das heißt, das wäre mein Ergebnis:
\(f(z) = A \cdot e^{cz}, \quad A = e^d \in \mathbb{C}, \, |c| < 1\)
Ich gebe zu, bei b) musste ich länger nachdenken, aber vom Prinzip war es doch eigentlich nicht so schwer. Meint ihr das ich die Aufgabenstellung richtig verstanden habe? Weil mir kommt es ein bisschen zu wenig vor, aber ich wüsste halt auch nicht wie ich es anders rechnen soll.
