Fehler im Beweis vom Höhensatz?

Question

Ich habe versucht den Beweis des Höhensatzes aus der Vorlesung nochmal nachzurechnen. Hier ist doch aber ein Fehler, oder? Im letzten Schritt komme ich nämlich auf $$ = 2pq-h^{2}\Longleftrightarrow h^{2}=2pq $$ und nicht $$2h^{2}=2pq$$

Ich finde den genauen Fehler aber nicht. Kann wer bitte helfen?

Answer 1

\( = 2pq-h^{2}\Longleftrightarrow h^{2}=2pq \)

Da hast Du das entscheidende gleich weggelassen: Was steht auf der linken Seite der Gleichung? Nicht 0, sondern \(h^2\).

Comments

Auf der linken Seite der Gleichung ist der Rest des Beweises. Das war ziemlich viel, deswegen das Foto mit dem Beweis. Soll ich es nochmal ausschreiben?

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Nein, du musst vor das = unter "Beweis" einfach links ein \(h^2\) davor schreiben.

Dann erhältst du am Ende die Gleichung \(h^2=2pq-h^2\), was die gewünschte Behauptung liefert.

Dadurch, dass man es nicht hingeschrieben hat (was man auch nicht muss), gerät es sehr schnell in Vergessenheit.

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Apfelmännchen Du hast Recht, ich habe das $$h ^{2}$$ am Anfang völlig vergessen. Dankeschön!!!!

Answer 2

Alternativ sieht man das aber auch, indem man Folgendes rechnet, was ich persönlich auch etwas übersichtlicher finde und nicht zu diesem Flüchtigkeitsfehler führt:

Es gilt \(h^2=b^2-q^2\) bzw. \(h^2=a^2-p^2\). Addition der Gleichungen liefert dann

\(2h^2=a^2+b^2-p^2-q^2=c^2-p^2-q^2=(p+q)^2-p^2-q^2=2pq.\)

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Danke. Mit dem Beweis bin ich auch draufgekommen, aber ich versuche halt den Fehler aus dem der Vorlesung zu finden ~.~

Answer 3

Am einfachsten geht der Beweis übrigens über die Ähnlichkeit des Dreiecks mit den Seiten q, h und b und des Dreiecks mit den Seiten h, p und a. Denn es gilt:

h/q = p/h → h^2 = p·q

Aber das wäre natürlich viel zu einfach für eine Vorlesung und deswegen macht man das meist etwas komplizierter :)

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Aber das wäre natürlich viel zu einfach für eine Vorlesung und deswegen macht man das meist etwas komplizierter :)

Das ist Quatsch. Du setzt stillschweigend die Ähnlichkeit der Dreiecke voraus, was strenggenommen aber auch erst einmal nachgewiesen werden muss. Das geht zwar relativ leicht über die Winkelsumme im Dreieck, muss aber zumindest ebenfalls notiert werden. Damit wird der Beweis also nicht zwangsläufig einfacher, wenn man das nicht bereits an anderer Stelle der Vorlesung erwähnt hat.

Eine komplette Vorlesung sollte eben auch einen roten Faden haben. Da sollten also nicht stillschweigend irgendwelche Voraussetzungen getroffen werden, sondern die Beweismethoden müssen auch zu den bereits bekannten Resultaten der Vorlesung passen.