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Hallo!

Könnte mir jemand zeigen, wie ich beweisen kann, dass der Höhensatz aus dem Satz des Pythagoras folgt?

LG :)

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Hast du den auf Wikipedia vorgestellten Beweis schon gesehen?

https://de.wikipedia.org/wiki/H%C3%B6hensatz#Mit_dem_Satz_des_Pythagoras

Ja den hab ich mir schon angeschaut, aber ich soll mit h² = a² - p²=... beginnen und da weiß ich nicht so recht wie ich da weitermachen muss...

2 Antworten

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Beste Antwort

Hallo Jan,

Willkommen in der Mathelounge!

aber ich soll mit h² = a² - p²=... beginnen

Manchmal lohnt es sich, dann einfach weiter zu machen und nicht nachzulassen. Auch wenn noch nicht klar ist, wo die Reise hin geht ;-) $$h^2=a^2-p^2 \\ h^2 = b^2 - q^2 $$so weit so gut. Und weiter müssen wir sicher verwenden, dass$$p+q=c \quad a^2+b^2=c^2$$und hier kann man schon mal \(c\) aus der ersten Gleichung in die zweite einsetzen, so dass wir die Variable \(c\) los sind$$a^2+b^2=(p+q)^2$$Jetzt fehlt noch ein genialer Gedanke und der ist in diesem Fall, die beiden Gleichungen mit \(h^2\) zu addieren$$2h^2 = a^2 + b^2 - p^2 - q^2$$Dämmert es jetzt wo die Reise hin geht?$$\begin{aligned}2h^2 &= \underbrace{a^2 + b^2}_{=(p+q)^2} - p^2 - q^2\\ 2h^2 &= (p+q)^2 - p^2 - q^2 \\ 2h^2 &= p^2 +2pq + q^2 - p^2 - q^2 \\ 2h^2 &= 2pq \\ h^2 &= pq \\ &\text{q.e.d.}\end{aligned}$$Gruß Werner

Avatar von 48 k

Achso oh man, da war ich denk ich ein wenig von der Vorgabe verwirrt, aber jetzt macht es sinn! Vielen lieben Dank für die Hilfe und die nette Antwort!

+1 Daumen
aber ich soll mit h² = a² - p²=... beginnen

Nein. Du sollst gleichzeitig  h² = a² - p² UND h² = b² - q² nutzen

und da weiß ich nicht so recht wie ich da weitermachen muss...

Die darauf folgenden drei Zeilen

und somit auch
\(2 h^{2}=a^{2}+b^{2}-p^{2}-q^{2}=c^{2}-p^{2}-q^{2}=(p+q)^{2}-p^{2}-q^{2}=2 p q \)
Division durch zwei liefert dann den Höhensatz.

sind bereits der komplette Beweis.

Avatar von 55 k 🚀

Vielen Dank für die Hilfe!

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