Anfangswertproblem mit komplexen Zahlen

Question

Aufgabe:

Lösen Sie das Anfangswertproblem

\( \vec{y}^{\prime}=\left(\begin{array}{ccc} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & -1 & 1 \end{array}\right) \vec{y}, \quad \vec{y}(0)=\left(\begin{array}{l} 0 \\ 1 \\ 0 \end{array}\right) . \)

Problem/Ansatz:

Hey ich habe ein Anfangwertproblem mit komplexen Zahlen. Ich habe die Eigenwerte und Eigenvektoren bereits berechnet und habe dabei diese Werte rausbekommen:

λ1=1 mit dem EV=(1, 1, 1)

λ2=i mit dem EV=(-1,-i,1)

λ3=-i mit EV=(-1, i, 1)

Wie bestimmte ich nun die allgemeine Lösung um das AWP zu lösen?

Answer 1

Bisher alles ok.

Die allgemeine Lösung eines solchen Differentialgleichungssystems lautet:

$$y(x)= c_{1}e^{λ_{1}x}\vec{v}_{1}+ c_{2}e^{λ_{2}x}\vec{v}_{2}+ c_{3}e^{λ_{3}x}\vec{v}_{3}$$

Nun mit der Anfangsbedingung die Konstanten c₁ etc. bestimmen und ggf. noch mit sin und cos schreiben statt der exp. Funktion (Geschmacksfrage)

Answer 2

Du hast zwei Möglichkeiten:

1. Du arbeitest mit eine komplexen Basis des Lösungsraums, d.h. die allgemeine Lösung ist

$$\sum_{k=1}^3c_k\exp(\lambda_kt)v_k$$

mit Deinen Eigenwerten und Eigenvektoren. Dann sind die Koeffizienten \(c_k\) ebenfalls komplex. Bei Anpassung an reelle Anfangswerte ist das Ergebnis am Ende dann natürlich wieder reell.

2. Du arbeitest mit einer reellen Basis. Dazu habt Ihr gelernt (habt Ihr?), dass Realteil von \(\exp(\lambda_2t)v_2\) und Imaginärteil von \(\exp(\lambda_2t)v_2\) zwei linear unabhängige Lösungen des AWP sind. Diese beiden zusammen mit \(\exp(\lambda_1t)v_1\) bilden dann eine reelle Basis.

Möglicherweise wird erwartet, dass Du den 2. Weg wählst.