Inhomogene DGL lösen

Question

Hey ich bin gerade dabei die DGL mit der Methode der Variation der Konstante zu lösen. Dabei hab ich als erstes den homogenen Teil gelöst also y‘=xy wobei ich y=C·e^(1/2x²) raus bekam. Anschließend habe ich y und y‘ in die inhomogene DGL eingesetzt und versucht nach C aufzulösen. Dabei bekam ich C‘=-C und weiß leider nicht wie ich weiter vorgehen soll. Hättet ihr da eine Idee?

Vielen Dank im Voraus

Text erkannt:

Lösen Sie die folgende Anfangswertprobleme:
(a) \( y^{\prime}=x y-y, \quad y(0)=1 \)

Comments

Wenn y=C·e^(1/2x²) richtig wäre, dann wäre x=x-1.

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@Roland Weißt Du wie man solche Dgl löst?

Answer 1

Mach Dir nochmal klar, was homogen und inhomogen bedeuten.

Dann klammere rechts \(y\) aus und starte nochmal neu. Dann bist Du in einer Zeile fertig.

Auch Dein Vorgehen, wenn auch hier unnötig und umständlich, führt zum Ziel: Löse die Dgl \(C'=-C\) (durch sofortiges Hinschreiben der Lösung) und setze Dein gefundenes \(C\) ein.

Comments

Ah verstehe, dankeschön :))

Answer 2

Aloha :)

Die Differentialgleichung kannst du direkt lösen:$$y'=xy-y=(x-1)\cdot y\quad\big|\div y$$$$\frac{y'}{y}=x-1\quad\big|\text{beide Seiten unabhängig voneinander integrieren}$$$$\ln y+c_1=\frac{x^2}{2}-x+c_2\quad\big|-c_1$$Die beiden Integrationskonstanten \(c_1\) und \(c_2\) fassen wir als \(c=c_2-c_1\) in einer Konstanten zusammen:$$\ln y=\frac{x^2}{2}-x+\underbrace{(c_2-c_1)}_{\eqqcolon c}=\frac{x^2}{2}-x+c\quad\big|e^{\cdots}$$$$e^{\ln y}=e^{\frac{x^2}{2}-x}\cdot e^c$$Schleßlich ist \(e^c\) wieder eine Konstante, die wir \(A\) nennen:$$y(x)=A\cdot e^{\frac{x^2}{2}-x}$$Aus der Anfangsbedingung \(y(0)=1\) folgt \(A=1\) und wir erhalten als Lösung:$$y(x)=e^{\frac{x^2}{2}-x}$$

Answer 3

Dein Grundverständnis des Problems ist falsch.

y ist keine Konstante sondern die gesuchte Funktion. Somit ist auch das, was Du als homogenen Teil ansiehst, nur eine inkorrekte Gleichung, die Dir somit natürlich nicht weiterhilft.

Lies noch einmal die Definitionen durch und versuche, die Begriffe sauber zu bekommen.