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Hey ich bin gerade dabei die DGL mit der Methode der Variation der Konstante zu lösen. Dabei hab ich als erstes den homogenen Teil gelöst also y‘=xy wobei ich y=C·e^(1/2x²) raus bekam. Anschließend habe ich y und y‘ in die inhomogene DGL eingesetzt und versucht nach C aufzulösen. Dabei bekam ich C‘=-C und weiß leider nicht wie ich weiter vorgehen soll. Hättet ihr da eine Idee?

Vielen Dank im Voraus FF07124C-130A-44DA-A490-34D860A5A099.jpeg

Text erkannt:

Lösen Sie die folgende Anfangswertprobleme:
(a) y=xyy,y(0)=1 y^{\prime}=x y-y, \quad y(0)=1

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Wenn y=C·e^(1/2x²) richtig wäre, dann wäre x=x-1.

@Roland Weißt Du wie man solche Dgl löst?

3 Antworten

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Beste Antwort

Mach Dir nochmal klar, was homogen und inhomogen bedeuten.

Dann klammere rechts yy aus und starte nochmal neu. Dann bist Du in einer Zeile fertig.

Auch Dein Vorgehen, wenn auch hier unnötig und umständlich, führt zum Ziel: Löse die Dgl C=CC'=-C (durch sofortiges Hinschreiben der Lösung) und setze Dein gefundenes CC ein.

Avatar von 10 k

Ah verstehe, dankeschön :))

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Aloha :)

Die Differentialgleichung kannst du direkt lösen:y=xyy=(x1)y÷yy'=xy-y=(x-1)\cdot y\quad\big|\div yyy=x1beide Seiten unabha¨ngig voneinander integrieren\frac{y'}{y}=x-1\quad\big|\text{beide Seiten unabhängig voneinander integrieren}lny+c1=x22x+c2c1\ln y+c_1=\frac{x^2}{2}-x+c_2\quad\big|-c_1Die beiden Integrationskonstanten c1c_1 und c2c_2 fassen wir als c=c2c1c=c_2-c_1 in einer Konstanten zusammen:lny=x22x+(c2c1)c=x22x+ce\ln y=\frac{x^2}{2}-x+\underbrace{(c_2-c_1)}_{\eqqcolon c}=\frac{x^2}{2}-x+c\quad\big|e^{\cdots}elny=ex22xece^{\ln y}=e^{\frac{x^2}{2}-x}\cdot e^cSchleßlich ist ece^c wieder eine Konstante, die wir AA nennen:y(x)=Aex22xy(x)=A\cdot e^{\frac{x^2}{2}-x}Aus der Anfangsbedingung y(0)=1y(0)=1 folgt A=1A=1 und wir erhalten als Lösung:y(x)=ex22xy(x)=e^{\frac{x^2}{2}-x}

Avatar von 152 k 🚀
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Dein Grundverständnis des Problems ist falsch.

y ist keine Konstante sondern die gesuchte Funktion. Somit ist auch das, was Du als homogenen Teil ansiehst, nur eine inkorrekte Gleichung, die Dir somit natürlich nicht weiterhilft.

Lies noch einmal die Definitionen durch und versuche, die Begriffe sauber zu bekommen.

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