Which one of the following statements is true? Statistics

Question

Aufgabe:

Let \( a \neq 0 \) and \( b \) be real constants. Which one of the following statements is true?

a. \( \operatorname{Var}(a X)=\operatorname{Cov}(a X, X) \)

b. \( \rho(a X, X)=1 \)

c. \( \operatorname{Cov}(a X+b, X)=a \operatorname{Cov}(X, X+b) \)

d. \( \operatorname{Var}(a X-b)=a^{2} \operatorname{Var}(X)+b \).

Problem/Ansatz:

Ich glaube B ist richtig, A und D nicht. Aber was ist mit C? Brauche Hilfe

Danke im Voraus;)

Answer 1

c)

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

Cov(a·X + b, X) = Cov(a·X, X) = a·Cov(X, X) = a·Var(X)

a·Cov(X, X + b) = a·Cov(X, X) = a·Cov(X, X) = a·Var(X)

Damit stimmen beide Seiten überein und die Aussage ist wahr.

Comments

und B ist auch richtig?

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Beachte die Fragestellung

Which one of the following statements is true?

Das bedeutet, du sollst eine Aussage finden die wahr ist. Alle anderen müssen falsch sein.

Schauen wir uns also mal b) an.

ρ(a·X, X) = Cov(a·X, X) / √(Var(a·X)·Var(X))
= a·Cov(X, X) / √(a²·Var(X)·Var(X))
= a·Var(X) / √(a²·Var(X)²)
= a·Var(X) / |a·Var(X)|
= 1·Vorzeichen(a)

Für a > 0 wäre die Aussage b) wahr. Allerdings war die Voraussetzung nur, dass a ≠ 0 ist und damit kann a auch kleiner als 0 sein und dann wäre die Aussage verkehrt.

Answer 2

Die Kovarianz ist bilinear, das heißt, es gilt

\(\operatorname{Cov}(aX+b,cY+d)=ac\operatorname{Cov}(X,Y)\).

Damit sollte die Lösung doch klar sein, oder?

Comments

Danke!

C ist also falsch? (wegen b)

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Nein. C ist richtig, weil konstante Summanden die Kovarianz nicht verändern.