Question

Which one of the numbers below can be the y-coordinate of a point on the curve

8(x²+y²)²=25(x²−y²) where the tangent is horizontal.

a.3/5
b.3/4
c.3/8
d.5/8
e.5/4

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Übersetzung:

Welche der folgenden Zahlen kann die y-Koordinate eines Punktes auf der Kurve sein

8(x^2+y^2)^2=25(x^2−y^2) wobei die Tangente horizontal ist.

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Ein Ansatz ohne Anspruch auf Vollständigkeit: Man beschränke sich auf den ersten Quadranten und fasse \(y\) als Funktion von \(x\) auf. Implizites Differenzieren liefert$$y^\prime(x)=\frac xy\cdot\frac{-16x^2-16y^2+25}{16x^2+16y^2+25}.$$
Schließe daraus \(x^2+y^2=\frac{25}{16}\)  und daraus \(x^2-y^2=\frac{25}{32}\)  durch Einsetzen in die Ausgangsgleichung. Löse das Gleichungssystem und finde, dass die Kurve im Punkt \(\big(\tfrac58\sqrt3\,\big\vert\,\frac58\big)\) eine horizontale Tangente haben muss.

Answer 1

F(x,y) = 8(x^2+y^2)^2 - 25(x^2−y^2)

hat als partielle Ableitung nach x

F_x =32x(x^2 + y^2 ) -50x

Die ist z.B. auch dann 0, wenn  32(x^2 + y^2 ) -50 = 0 gilt,

also z.B. im Punkt ( 0; 5/4).

Somit ist e richtig.

Comments

Du irrst dich, d ist richtig.