Aufgabe:
Sei sgn die Signum-Funktion. In welchen Punkten ist sgn stetig und in welchen Punkten ist sie unstetig?
Beweis. (i) Betrachten wir ein beliebiges, festes \( x_{0} \in \mathbb{R} \backslash\{0\} \) und ein beliebiges, festes \( \varepsilon>0 \). Wir setzen \( \delta:=\left|x_{0}\right| \). Wegen \( x_{0} \neq 0 \) ist dann \( \delta>0 \).
Betrachten wir nun ein beliebiges, festes \( x \in \mathbb{R} \) und nehmen wir an, dass \( \left|x-x_{0}\right|<\delta \) ist. Wir zeigen nun, dass \( \operatorname{sgn}(x)=\operatorname{sgn}\left(x_{0}\right) \) gilt. Dazu unterscheiden wir zwei Fälle:
1. Fall: \( x_{0}>0 \).
Dann ist auch \( x>0 \), denn es gilt
\(-\left(x-x_{0}\right) \leq\left|x-x_{0}|\right<\delta=\left|x_{0}\right|=x_{0}\)
und somit in der Tat \( x>0 \). Also gilt \( \operatorname{sgn}(x)=1=\operatorname{sgn}\left(x_{0}\right) \).
2. Fall: \( x_{0}<0 \).
In diesem Fall ist auch \( x<0 \), denn es gilt
\(x-x_{0} \leq\left|x-x_{0}\right|<\delta=\left|x_{0}\right|=-x_{0}\)
und somit in der Tat \( x<0 \). Also ist in diesem Fall \( \operatorname{sgn}(x)=-1=\operatorname{sgn}\left(x_{0}\right) \).
Problem/Ansatz:
Also das ist zwar nicht der ganze Beweis, aber mir geht es nur um diesen Teil des Beweises. Ich verstehe nicht, wie hier die Fälle funktionieren, kann es mir jemand ausführlich erklären? Man schaut sich hier |x-x_{0}| an und da ergeben sich die Fälle -(x-x_{0}) und x-x_{0}, aber wieso schlussfolgert man, dass x gleich x_{0} sein muss? Das ist zwar der SInn des Teilbeweises, aber ich komme nicht dahinter.
