Quadrik in Abbildung einsetzen

Question

ich habe eine allgemeine Frage zu Quadriken.

Nehmen wir an, wir haben eine Abbildung T(x) = A*x  A ist eine Matrix (z.B. 3x3), x eine Quadrik.

Wie berechnet man eine solche Abbildung?

Mein Ansatz wäre:

Eine Quadrik lässt sich schreiben als p^T * Q * p = 0, wobei Q eine symmetrische Matrix ist, p=(p_1, p_2, p_3) die Punkte  der Quadrik.

T(p) = q = A * p also p = A^-1 * q

Das wieder eingesetzt in die alte Umschreibung:

(A^-1*q)^T * Q * (A^-1*q) = q^T * (A^-1)^T * Q * A^-1 * q

Somit hätten wir als neue Symmetrische Matrix Q' = (A^-1)^T * Q * A^-1 und somit auch das Bild der Abbildung

Stimmt diese Vorgangsweise?

Answer 1

Sieht mir etwas zu kompliziert aus.

Eine Quadrik auch natürlich auch lineare Terme und eine Konstante enthalten, nicht nur quadratische Terme wie bei Dir.

Dann verstehe ich deine p‘s nicht, es ist einfach der Vektor x.

Dann wird so multipliziert wie Du angefangen hast, es wird jetzt nur einfacher. Die neue Matrix Q‘ ist also A^T*Q *A.

Analog dann auch mit dem linearen Term.

Comments

Danke für die Antwort.

Wenn ich zB die Quadrik

p₁²-4*p₁*p₂+p₂²+1=0

habe,

verstehe ich leider nicht ganz, wie ich hier einen Vektor dafür finde.

Wie du dann auf Q' ohne Inverse A kommst erschließt sich mir auch nicht.

Könntest du das bitte etwas ausführen?

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Wäre das dann in diesem Fall (1,1,-4,1)

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Die allgemeine Form einer Quadrik lautet:

$$x^{T}Qx+b^{T}x+c$$

Q ist eine symmetrische Matrix, b ein Vektor, c eine Konstante.

Wenn ich nun eine Matrix A auf eine Quadrik anwende, ersetze ich x durch Ax und forme um. Dabei kommen nur die Transponierten vor, keine Inversen.

Das ergibt dann

$$x^{T}Q’x+b‘^{T}x+c$$
mit Q‘ = A^T*Q *A und b‘=A^Tb


in Deinem Beispiel wäre Q =$$ \begin{pmatrix} 1 & -2 \\ -2 & 1 \end{pmatrix}$$
b der Nullvektor (da kein linearer Term vorkommt) und c=1,

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Hier ein Beispiel:

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Die Umformung nach ersetzen von x mit Ax verstehe ich.

Jedoch verstehe ich nicht, warum x mit Ax ersetzt wird

Die Abbildung lautet T(x) = Ax   x ist die Quadrik

Ich würde kurz die Quadrikform umbezeichnen mit

\(p^{T}Qp+b^{T}p+c\) = 0    p sind die Punkte, die die Gleichung erfüllen

Wie erfolgt hier nun das Ersetzen?

Kann man das nicht alles auch in eine Matrix packen wie im Kommentar von "wächter".

Ist mein Ansatz vom Verwenden eines Vektors für die Abbildung falsch?

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Man kann alles in eine neue Matrix packen, ob das einfacher ist, sei dahingestellt.

Die Bezeichnung x für eine Quadrik ist unüblich

Schau Dir mein Beispiel an, dann sollte es klarer werden.

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Mein Verständnisproblem liegt leider darin, dass in der Abbildung A auf eine Quadrik angewandt wird.

In der allgemeinen Form der Quadrik \(x^{T}Qx+b^{T}x+c\) = 0 ist doch x die Punktmenge, welche die Quadrik erfüllt

Die Abbildung ist Ax, also wäre es doch A "mal" x

Mir geht nicht ein, warum das x in der Quadrikformel durch Ax ersetzt wird.

Wenn du mir bitte das erklären könntest, sollte es mir klar sein.

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Oh Moment.

Da x ja die Punktmenge der Quadrik ist, ist es ja die Quadrik. Also wendet man sie direkt auf diese an unf ersetzt sie in der allgemeinen Gleichung oder?

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Die,Verwirrung rührt nur daher, daß Du die Quadrik als ‚x‘ bezeichnet und das ist falsch.

Die Quadrik ist der gesamte Ausdruck den Ich oben geschrieben habe und setzt sich aus dem Vektor X  mit Matrix Q und  Vektor b und Konstanten c zusammen.

Die Matrix A wird auf den Vektor x angewandt, also.wird x durch Ax ersetzt.

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Verständlich, also stimmt der Kommentar, den ich knapp vor deinem noch verfasst hatte, oder?

Ich werde noch versuchen rauszufinden, wie ich es in der Form, wie von "wächter" beschrieben, umstellen kann.

Vielen Dank für die ausführliche Erklärung.

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Du sagst immer ‚Punkte‘ verwendest aber die Matrixdarstellung. Dann ist x ein Vektor im Rⁿ

^{Alles in einer Matrix sieht so aus:}

^{$$\begin{pmatrix} Q & b \\ b^{T} & c \end{pmatrix}$$}

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Ich spreche von Punkten, da hier die Quadrik die Gleichung

p₁²-4*p₁*p₂+p₂²+1=0

hat und die Quadrik die Menge der "Punkte" (p₁ , p₂) ist, welche die Gleichung erfüllt

Answer 2

Wenn du alles in EINE Matrix packen willst hast homogene Koordinaten, siehe

https://www.geogebra.org/m/BpqJ28eP#material/avznhsff

\( \left(\begin{array}{rrr}x&y&1\\\end{array}\right)  \left(\begin{array}{rrr}1&-2&0\\-2&1&0\\0&0&1\\\end{array}\right) \left(\begin{array}{r}x\\y\\1\\\end{array}\right)  = 0\)

Comments

Alles in einer Matrix wäre schön. Ich verstehe jedoch trotzdem nicht, wie ich nun die Quadrik in der Abbildung verwende.

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Die App zeigt eine Hauptachsentransformation, im Allgemeinen eine Drehung und eine Translation. Der Schritt mit der Drehung würde Deiner Abbildung entsprechen:

\({\vec x^T A\; \vec x = 0},\quad \vec x= S\; \vec y \to\\\vec y^T\; S^TA\;S\; \vec y = 0  \\\)

Answer 3

Stimmt diese Vorgangsweise?

Ja. Allerdings hast Du Dich etwas holprig ausgedrückt. Ich versuche es mal mit meinen Worten zusammenzufassen:

Du hast eine lineare Abbildung \(T:\R^n \to \R^n\) der Form \(T(x)=Ax\) mit einer n-n-Matrix A. Für eine Teilmenge \(M \sub \R^n\) ist dann das Bild definiert als $$T(M):=\{y \in \R^n \mid \exists x \in \R^n: y=Ax\}$$

Jetzt soll M eine - -spezielle - Quadrik sein:

$$M:=\{x \in \R^n \mid x^TQx=0\}$$

mit einer symmetrischen Matrix Q. Dann ist das Bild dieser Quadrik unter der Abbildung T wieder eine Quadrik, definiert mit der von Dir angegebenen Matrix Q'. Denn für \(y=Ax \in T(M)\) gilt.

$$y^TQ'y=x^TA^T(A^{-1})^TQA^{-1}Ax=x^TQx=0$$

Probleme zum Anschluss an die Literatur treten auf, weil Du nicht den allgemeinen Fall einer Quadrik betrachtest (mit linearem und absoluten Term), und weil meistens mit - aus Deiner Sicht - der Inversen von T gearbeitet wird. Also man will eine gegebene Quadrik als Bild einer Standard-Quadrik darstellen (Hauptachsentransformation) und nicht eine gegebene Matrix auf eine Standard-Quadrik abbilden. Was natürlich Jacke wie Hose ist.