Wann stellt sich die Temperatur wieder ein?

Question

In sogenannten Aluminiumhütten wird nach einem bestimmten Verfahren Aluminium aus Aluminiumoxid gewonnen. Die Temperatur vom Ausgangsstoff bis zum fertigen Endprodukt Aluminium während des Herstellungsprozesses kann modellhaft durch die Funktion mit der Funktionsgleichung f(t) = 250 · t ·e^-0,1⋅t + 22. Dabei steht die Variable t für die Zeit in Minuten ab dem Zeitpunkt t₀ = 0. Der Funktionswert von gibt die Temperatur in Grad Celsius zum Zeitpunkt t an. Auf das Mitführen von Einheiten während der Rechnungen wird verzichtet. Runden Sie Ihre Ergebnisse sinnvoll.

2.1 Berechnen Sie die Temperatur im Herstellungsprozess nach fünf Minuten und die Temperatur, welche sich nach diesem Modell theoretisch langfristig einstellt.

Kann mit jemand erklären, wie man das berechnet, also wann sich dir Temperatur langfristig einstellt? Ich verstehe die Fragestellung irgendwie nicht mal.

Comments

Wann stellt sich der Temperatur wieder ein? ... Kann mit jemand erklären wie man das berechnen tut, also wann sich dir Temperatur langfristig einstellen tut,

Danach wird nicht gefragt.

Sondern nach der

Temperatur, welche sich nach diesem Modell theoretisch langfristig einstellt.

Und bei der Funktionsgleichung stimmt auf der linken Seite etwas nicht.

Nachtrag: Nachdem ein anderer Benutzer Deinen Aufgabentext korrigiert hat, stimmt die linke Seite.

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\(f(t) = 250 \cdot t \cdot e^{-0,1t} \) + 22\)

\(f(t) = 250 \cdot \frac{t}{e^{0,1t}}+ 22\)

\( \lim\limits_{t\to\infty} \frac{250t}{e^{0,1t}}+ 22 \)

Mit l´Hospital:

\( \lim\limits_{t\to\infty} \frac{250}{0,1e^{0,1t}}+ 22 \)

\( \lim\limits_{t\to\infty} \frac{2500}{e^{0,1t}}+ 22=22 \)

Langfristige Temperatur 22°

Answer 1

Wenn du dir mal eine Wertetabelle machst oder den Graphen zeichnen läßt dann stellst du fest, dass die Temperatur nach 100 Minuten auf ca. 23 Grad abgekühlt ist.

Aber egal wie lange du danach noch wartest kühlt die Temperatur nur bis 22 Grad ab und nicht mehr. Langfristig stellt sich also eine Temperatur von 22 Grad ein. Mathematisch weißt du das mit dem Grenzwert nach. Also wenn t unendlich groß wird.

Skizze

~plot~  250*x*e^(-0.1*x)+22;22;[[0|100|0|1000]] ~plot~

Comments

Aber egal wie lange du danach noch wartest kühlt die Temperatur nur bis 22 Grad ab und nicht mehr. Langfristig stellt sich also eine Temperatur von 22 Grad ein. Mathematisch weißt du das mit dem Grenzwert nach. Also wenn t unendlich groß wird.

Aber eine e Funktion berührt doch die Asymptote nicht oder also kann der Tee niemals 22° Grad heiß werden oder?

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Aber eine e Funktion berührt doch die Asymptote nicht oder also kann der Tee niemals 22° Grad heiß werden oder?

Rein mathematisch hast du recht. Aber wie genau kannst du Temperaturen messen? Wenn du den Tee mit einer Nachkommastelle misst, dann hast du schon bei unter 22.05° C gerundet eine Teetemperatur von 22° C.

Du wirst also rein messtechnisch eh nie feststellen können, ob ein Tee wirklich exakt eine Temperatur von 22.000000...° C besitzt.

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Aber wenn man jetzt die Konstante innerhalb des Sachzusammenhang beschreiben muss, wäre es Falsch wenn ich sagen würde, dass der Tee maximal 21,99 Grad werden kann aber nicht 22?

Ich meine wenn ich sagen würde, der Tee wird maximal 22° dann ist das ja Falsch?

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Aber wenn man jetzt die Konstante innerhalb des Sachzusammenhang beschreiben muss, wäre es Falsch wenn ich sagen würde, dass der Tee maximal 21,99 Grad werden kann aber nicht 22?

Da sich die Temperatur der 22 Grad von oben nähert kann der Tee sowieso nie unter 22 Grad fallen. Also es wäre total verkehrt, wenn du sagen würdest, dass der Tee maximal 21.99 Grad werden kann.

Die Temperatur nähert sich von oben der 22 Grad erreicht diesen Wert aber nie exakt, sondern nähert sich dem Wert nur unendlich dicht an.

Aber das ist ja alles nicht gefragt.

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Würdest du also

Langfristig stellt sich also eine Temperatur von 22 Grad ein.

schreiben?

Der Tee kann maximal 22,01° heiß werden oder jetzt nur mathematisch egal ob ein Tee so heiß sein kann?

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Würdest du also ... schreiben?

Ja. Du kannst keine andere Temperatur angeben, weil egal welche Temperatur du nennen würdest. Also z.B. 22.00000001° C ist es verkehrt, weil es unendlich viele Temperaturen gibt, die noch kleiner sind.

Es ist hier nach dem mathematischen Grenzwert gefragt.

Answer 2

Gesucht wird der Grenzwert für \( t \rightarrow \infty \)

Beim ersten Summanden des Funktionsterms steht t in erster Potenz im Zähler und als Exponent im Nenner. Der erste Summand strebt also gegen Null. Die Temperatur nähert sich im Verlauf der Zeit darum wieder der Starttemperatur / Umgebungstemperatur an, die im zweiten Summanden steht - was ja auch anzunehmen ist bevor man die Funktion überhaupt angeschaut hat.