Wie lineares Programm formulieren?

Question

Aufgabe:

Ein Papierfabrikant stellt Papierrollen mit einer Standardbreite von 105 cm und einer Länge von L cm her. Die Kunden verlangen jedoch Rollen der Länge L cm mit geringerer Breite. Es liegen folgende Aufträge vor:

- 100 Rollen 25 cm breit,

- 125 Rollen 30 cm breit,

- 80 Rollen 35 cm breit.

Zur Erledigung der Aufträge werden Standardrollen zerschnitten. Zum Beispiel kann der Fabrikant aus einer Papierrolle mit Standardbreite zwei Rollen von je 35 cm Breite und eine Rolle von 30 cm Breite schneiden. Das ergibt einen Schnittverlust von 5×L cm². Ziel des Fabrikanten ist die Minimierung der Schnittverluste für die vorliegenden Aufträge.

Formulieren Sie dieses Problem als lineares Programm.

Problem/Ansatz:

NNB \(x_{1}, x_{2}, x_{3} \geq 0\)

Wie ich den Rest formulieren soll bin ich mir nicht sicher.

Comments

Man kann verlustfrei 78 Rollen mit 35 cm Breite herstellen.

Dann bleiben noch herzustellen:
- 100 Rollen 25 cm breit,
- 125 Rollen 30 cm breit,
- 2 Rollen 35 cm breit.

Man kann verlustfrei 99 Rollen mit 25 cm Breite und 33 Rollen mit 30 cm herstellen.

Dann bleiben:
- 1 Rolle 25 cm breit,
- 92 Rollen 30 cm breit,
- 2 Rollen 35 cm breit.

Es braucht 91 Rohlinge.

(Ich habe Deine Frage noch mit dem Schlagwort "Zuschnittproblem" ergänzt, denn ein solches ist es.)

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Wie kommst du auf 78×35, 99×25 und 33×30?

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Hallo

Man muss ja mindestens 125 Rollen zerschneiden für die 30cm. dann bleiben 125 Rollen mit 75cm  für den Rest, versuche die zu verteilen, wenn das reicht ok , sonst weitere Rollen.

lul

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Wie kann ich den so die Nebenbedingungen und eine Zielfunktion formulieren?

NNB:

\(x_{1}, x_{2}, x_{3} \geq 0\)

Entscheidungsvariablen:

X1=35cm

X2=30cm

X3=25cm

So würde ich die variablen und die NNB aufstellen, aber wie ich die Nebenbedingungen und die Zielfunktion formulieren soll, weiß ich nicht.

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Wie kommst du auf 78×35, 99×25 und 33×30?

Man kann so einen Rohling in drei Stücke zu 35 cm zerschneiden.

Man kann ihn auch in drei Stücke zu 25 cm und ein Stück zu 30 cm zerschneiden.

Man muss ja mindestens 125 Rollen zerschneiden

Nein. Siehe oben: Es braucht 91 Rohlinge.

Ich denke, die einschlägige Publikation ist https://doi.org/10.1287/opre.9.6.849 von 1961.

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Hier eine Lösung des linearen Problems. Die Matrix enthält die benutzbaren Schnittmuster und die Koeffizienten des linearen Optimierungsproblems.

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Danke.

Bei der Lösung der Aufgabe geht es Primär nur um die Formulierung der Entscheidungsvariablen, Nebenbedingungen, NNB und Zielfunktion.

Woher kommen die zahlen für den 2. Vektor?

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Du meinst den Vektor auf der Rechten Seite? Der Entsteht, wenn ich die Matrix und den Vektor auf der linken Seite des Gleichheitszeichen multipliziere. Und du siehst das damit die Nebenbedingungen erfüllt sind.

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ich meine den vektor den du mit der matrix multiplizierst.

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Den habe ich pi mal Daumen erstellt, sodass ich die Bedingungen erfülle und auf die 91 Rohlinge komme, die döschwo netterweise hat berechnen lassen.

Aber die Lösung sollte erstmal für dich uninteressant sein. Stelle das lineare Programm auf und wenn du Interesse hast löst du das mit einem Verfahren deiner Wahl. Dann solltest du doch eine ähnliche Lösung heraus bekommen.

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Wegen der Zielfunktion

Mit den Zahlen von MC:

Benötigt werden 100*25+125*30+80*35=9050

Lösung sind 91 Rollen, ergibt 91*105 =9555 Verbrauch

Verschnitt: 505

Zielfunktion: 470

Also ergibt der Wert der Zielfunktion nicht den Verschnitt.

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Du hast ja auch einen Denkfehler. Bei seiner Lösung kommen 81 Rollen mit 35 Meter heraus. Das erklärt die Differenz von 35. ;)

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Ja, das heißt doch, dass 1 35-Rolle weggeworfen wird, also zum Verschnitt zu rechnen ist.

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Dann sollte man eher die Nebenbedingung so formulieren, dass die Gleichheit erfüllt ist. Das bedarf dann keiner Anpassung der Zielfunktion. Dann stellt sich allerdings die Frage, ob es lösbar ist.

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habe ich pi mal Daumen erstellt,

Ich würde stattdessen noch das Schnittmuster vorschlagen:

\( \begin{pmatrix} 0\\1\\1\\50 \end{pmatrix} \text{oder}  \begin{pmatrix} 2\\0\\0\\35 \end{pmatrix} \)

Dann klappt es. Ich schreibe nachher noch eine Antwort auf, ist ein bisschen eine Fummelei mit der Formatierung, und es ist gerade ziemlich laut im "Ruheabteil" meines Zuges - Fahrgäste aus "einem Nachbarland".

Answer 1

Wie gesagt hätte ich das wie folgt gemacht

Minimiere

V = 5·b + 10·c + 10·d + 15·e + 20·f + 15·g + 20·h + 5·j

Unter den Nebenbedingungen

3·a + 2·b + 2·c + d + e + f ≥ 80
b + 2·d + e + 3·g + 2·h + i ≥ 125
c + e + 2·f + h + 3·i + 4·j ≥ 100

Dieses gibt das Problem nicht ganz exakt wieder, weil es nicht erlaubt aus einem Rohling eine einzelne Rolle zu schneiden, sondern eben nur die gegebenen Schnittmuster. Es wird also immer versucht, aus einem Rohling möglichst viele Rollen zu schneiden.

Das äußert sich dann in den Nebenbedingungen, dass man eben eine Mindestanzahl an Rollen vorgeben muss.

So werden aber die benötigten Rohlinge minimiert und man kann dann die Rolle(n), die zu viel produziert würden aus einem Rohling weglassen, um einen größeren Rest zu bekommen.

Answer 2

Überlege dir, welche Schnittmuster es gibt und stelle dann damit das lineare Programm auf.

Zum Beispiel:

1) 3 mal 35 cm = 105 cm, Rest: 0 cm, Kurzschreibweise: (0, 0, 3, 0). Dabei geben die ersten drei Zahlen die jeweilige Anzahl der Rollen an (25cm, 30cm, 35cm), die letzte Zahl gibt den Rest an.

2) 2 mal 35 cm, 1 mal 30 cm, Rest: 5 cm, kurz: (0, 1, 2, 5).

usw.

Wenn nun \(\mathbf{r}=(0, 5, \ldots)\) der Vektor der Reste und \(\mathbf{m}\) die Anzahl (Häufigkeit) der jeweils verwendeten Schnittmuster ist, dann

minimiere \(\mathbf{r}^T\cdot \mathbf{m}L\), so dass

\(m_i\geq 0\) mit \(m_i\in\mathbb{Z}\) für alle \(i\) und

\(A\mathbf{m}=\begin{pmatrix}100 \\125\\ 80 \end{pmatrix}\)

In der Matrix \(A\) stehen dann entsprechend die Anzahl der Rollen, die beim jeweiligen Schnittmuster erhalten werden. Dazu bietet es sich an, eine Tabelle anzufertigen.

Melde dich gerne, wenn du Fragen hast.

Streng genommen handelt es sich hier sogar um ein ganzzahliges lineares Programm, da die \(m_i\) ganzzahlige Werte sein müssen.

Comments

Überlege dir, welche Schnittmuster es gibt

muss ich alle Schnittmuster aufstellen oder reichen 4 z.B ?

Wenn ich die Aufgabe so wie du geschrieben hast löse, kann ich dann die Nebenbedingungen und Zielfunktion so aufstellen?

Nebenbedigungen:

x1≤ 10

Zielfunktion:

Z=30x

(Nur als Beispiel)

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Es ist schon sinnvoll, alle möglichen Schnittmuster zu betrachten, um sicherzustellen, dass man nicht eine noch bessere Lösung vergisst. Aber so viele Schnittmuster gibt es ja nun auch nicht.

Du kannst die Nebenbedingungen natürlich auch als einzelne Ungleichungen ohne Matrix formulieren sowie die Zielfunktion ebenfalls. Mache dir dazu klar, was die verschiedenen Variablen bedeuten und wie die Bedingungen entsprechend formuliert werden müssen.

Eine Ungleichung der Form \(ax+b\geq c\) kann man durch Multiplikation mit -1 umformen in \(-ax-b\leq c\).

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Ich habe Bedenken bei der Zielfunktion: Es könnte doch weiterer Verschnitt anfallen, wenn einige Rollen "angeschnitten" aber nicht vollständig verwertet werden. Meiner Meinung nach muss der Verschnitt angesetzt werden als Differenz der Anzahl der verwendeten Rollen mal Standardbreite und der benötigten Menge, also 100*25 + ...

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Wären dann die Schnittmuster die Nebenbedingungen?

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Die Anzahlen der Schnittmuster, also die \(m_i\) sind deine Variablen und die kommen natürlich in den Nebenbedingungen vor.

Ich habe Bedenken bei der Zielfunktion: Es könnte doch weiterer Verschnitt anfallen, wenn einige Rollen "angeschnitten" aber nicht vollständig verwertet werden. Meiner Meinung nach muss der Verschnitt angesetzt werden als Differenz der Anzahl der verwendeten Rollen mal Standardbreite und der benötigten Menge, also 100*25 + ...

Das leuchtet mir nicht so ganz ein. Wenn Rollen angeschnitten und nicht vollständig verwertet werden, ist doch gerade das der Rest oder eben auch Verschnitt genannt. Wenn ich jetzt also 20 mal Schnittmuster 2 von oben brauche, ergibt sich ja, dass der Verschnitt \(20\cdot 5=100L\) beträgt.

Ich habe mal noch die Variable \(L\) für die Länge einer Rolle hinzugefügt. Die spielt aber für das Optimierungsproblem keine Rolle. Der Vollständigkeit halber sollte sie aber dennoch in der Zielfunktion auftauchen.

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35=x1 , 30=x2 , 25=x3

wäre das falsch, wenn das meine variablen wären?

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Das ist hochgradig falsch, denn wozu brauchst du noch ein lineares Programm, wenn du direkt die Variablen mit einem festen Wert angeben kannst. Das ergibt keinen Sinn. Und was sollen die Variablen überhaupt angeben?

Ich verstehe aber auch nicht, wieso du das Vorgehen meiner Antwort einfach ignorierst.

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Ich verstehe aber auch nicht, wieso du das Vorgehen meiner Antwort einfach ignorierst.

Ich habe es nicht ignoriert, nur weiß/wusste ich nicht wie ich es umsetzen soll.

Ich hab mal ein LP formuliert, bin mir aber nicht sicher.

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Ja, das geht in die richtige Richtung. Aber die \(a_{mi}\) müssten ja die Anzahl der Rollen für Schnittmuster \(m\) sein und dann bräuchtest du entsprechend für jedes Schnittmuster noch die Ungleichung \(\leq 105\). Das kannst du dir aber sparen, wenn du jedem verwendeten Schnittmuster bereits den Verschnitt zuordnest. Dadurch wird dann auch die Zielfunktion einfacher, vergleiche die Tabelle unten von döschwo.

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Das kannst du dir aber sparen, wenn du jedem verwendeten Schnittmuster bereits den Verschnitt zuordnest. Dadurch wird dann auch die Zielfunktion einfacher,

Ich habe es nochmal überarbeitet, ist das jetzt richtig?

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Wesentlich besser. Es ist aber dennoch zu überlegen, ob auch mehr Rollen produziert werden dürfen. Also ob man wirklich Ungleichungen oder nicht eher Gleichungen hat. Außerdem sagst du nichts weiter über die Schnittmuster aus. Wenn man da ein korrektes LP aufstellen möchte, sollte man da tatsächlich die Bedingungen direkt anhand der Schnittmuster aufstellen.

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Also ob man wirklich Ungleichungen oder nicht eher Gleichungen hat

Soll ich also alle Nebenbedingungen gleich setzen und jedes Schnittmuster, den jeweiligen Verschnitt gleich setzen?

Könnte ich auch die muster begrenzen indem ich nur die muster betrachte die weniger als 25cm Verschnitt haben.

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Sicherlich könntest du das, ob du damit dann eine optimale Lösung garantierst, ist dann aber eine andere Frage.

Und ja, es wäre sinnvoller, aus den Nebenbedingungen Gleichungen zu machen, denn zu viel produzierte Rollen müsste man ja ebenfalls als Verschnitt werten.

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Und ja, es wäre sinnvoller, aus den Nebenbedingungen Gleichungen zu machen, denn zu viel produzierte Rollen müsste man ja ebenfalls als Verschnitt werten.

Die Frage wäre doch gibt es denn tatsächlich eine bessere Lösung als wenn man nur den Zerschnitt eines Rohlings in die maximale Rollenzahl erlaubt.

Es wäre klar, dass ich eine mögliche zu viel produzierte Rolle nachher im tatsächlichen Zuschnitt von einem Rohling weglassen kann.

Aber ich denke, das braucht man nicht direkt vorher modellieren, denn dadurch würden ja nur unnötig viele zusätzliche Schnittmuster hinzukommen und das Problem nur aufblähen.

Answer 3

Mit einem linearen Programm auf ganze Zahlen zu optimieren braucht es mehrere Durchläufe (aufwendig - ob die Aufgabe so gemeint ist?), da schau ich erstmal bei XL vorbei - der Solver kommt auf insgesamt 89 Rollen

\(\small\begin{array}{|r|r|r|r|r|r|r|r|r|r|} \hline Längen & Anzahl & Schnittmuster & 105 & 105 & 105 & 105 & 105 & 105 & 105 \\ \hline 25 & 100 & 100 & 4 & 3 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ \hline 30 & 120 & 120 & 0 & 1 & 1 & 2 & 1 & 0 & 0 \\ \hline 35 & 80 & 80 & 0 & 0 & 1 & 1 & 2 & 3 & 2 \\ \hline & & \red{89} & \red{1} & \red{32} & 0 & \red{32} & \red{24} & 0 & 0 \\ \hline Waste & & & 5 & 0 & 15 & 10 & 5 & 0 & 10 \\ \hline \mathbf{4 4 5}  & & & 5 & 0 & 0 & 320 & 120 & 0 & 0 \\ \hline \end{array}\)

Interessanter Weise lässt er die 3x35cm aus...

um der neben Lösung von MC noch einen Vorschlag zu machen

Comments

Würdest du die Frage lesen, wüsstest du, dass die Aufgabe nicht so gemeint ist, da es gar nicht darum geht, das Problem zu lösen, sondern lediglich darum, ein lineares Programm aufzustellen. Deine Antwort zielt also nicht auf die Frage ab.

Zu allem Überfluss arbeitest du auch nur mit 120 30er Rollen statt der geforderten 125 Rollen, was die Diskrepanz zur Lösung von MC erklärt.

Answer 4

Wenn man sich vorerst die verlinkte Literatur (die allerdings zielführend ist) nicht zumuten möchte, sondern ein herkömmliches LP aufstellen will (wogegen es gute Gründe gibt, die in der verlinkten Literatur erklärt werden), dann sollte man alle Schnittmuster in Betracht ziehen, nicht nur die von denen man meint, sie seien sinnvoll.

Schnittmuster:

Name	Anzahl Stücke vom Rohling	35 cm	30 cm	25 cm	Verschnitt
A	1	1			70
B	1		1		75
C	1			1	80
D	2	2			35
E	2		2		45
F	2			2	55
G	2	1	1		40
H	2	1		1	45
I	2		1	1	50
K	3	3			0
M	3		3		15
N	3			3	30
P	3	2	1		5
Q	3	2		1	10
R	3	1	2		10
S	3		2	1	20
T	3	1		2	20
U	3		1	2	25
V	3	1	1	1	15
W	4			4	5
X	4		1	3	0

Wenn a die Anzahl Rohlinge sind, die nach Schnittmuster A zerschnitten werden, usw., dann ist die Zielfunktion:

minimiere Verschnitt(a, b, ... w) = 70a + 75b + 80c + 35d + 45e + 55f + 40g + 45h + 50i + 0k + 15m + 30n + 5p + 10q + 10r + 20s + 20t + 25u + 15v + 5w

s.t.

a + 2d + g + h + 3k + 2p + 2q + r + t + v = 80
b + 2e + g + i + 3m + p + 2r + 2s + u + v + x = 125
c + 2f + h + i + 3n + q + s + 2t + 2u + v + 4w + 3x = 100
Nichtnegativitätsbedingungen
ganzzahlig

Es gibt mehrere Lösungen für das Minimum 505, bspw.:

d = 1, k = 26, m = 31, w = 1, x = 32
oder
i = 1, k = 26, m = 29, r = 2, x = 33

Comments

dann sollte man alle Schnittmuster in Betracht ziehen, nicht nur die von denen man meint, sie seinen sinnvoll.

Aber sollte man nicht irgendwann eine Grenze setzen? Zu viel Verschnitt ergibt keinen Sinn, denn das Ziel ist es ja, den Verschnitt zu minimieren.

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Dann wird durch die Optimierung die Anzahl für genau diese Schnittmuster auf 0 gesetzt. Der Vollständigkeit halber sind sie aber zu berücksichtigen.

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Aber so wird der aufwand doch viel höher, wenn man kein solver oder ähnliches nutzt.

Könnte man die Schnittmuster nicht begrenzen ?

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Lese den verlinkten Artikel, dort wird das erklärt.

Es gibt tausende von Lösungen für die geforderte Anzahl Rollen mit Verschnitt = 505, bei allen werden 91 Rohlinge verwendet. Das Problem ist NP-schwer.

(Wenn jemand den Artikel will aber keinen Zugang hat, kann man mir eine Mail schicken und kriegt ihn per PDF; es wird kaum im Sinne des Forumbetreibers sein, wenn ich hier aufschreibe, wie man die Bezahlschranke überwindet.)

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Wenn jemand den Artikel möchte, kann er ihn auch hier ohne Paywall herunterladen:

https://www.researchgate.net/publication/266478800_A_Linear_Programming_Approach_to_the_Cutting_Stock_Problem_I

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Ergänzung: Ein "Schnittmuster" hatte ich vergessen, wurde korrigiert.

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Falls ihr Zugriff auf das Buch habt, könntet ihr mir sagen, ob die Musterlösung aus Kapitel 1.4.6 auf Seite 10 für die Aufgabe mit den Papierrollen anwendbar wäre?

https://link.springer.com/book/10.1007/978-3-662-66387-5

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Falls ihr Zugriff auf das Buch habt, könntet ihr mir sagen, ob die Musterlösung aus Kapitel 1.4.6 auf Seite 10 für die Aufgabe mit den Papierrollen anwendbar wäre?

Was hindert dich denn daran es einfach mal durchzurechnen, wie du es dir laut Musterlösung vorstellst. Du kannst doch nachher leicht prüfen, ob du damit auf eine akzeptable Lösung kommst.

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Was hindert dich denn daran es einfach mal durchzurechnen, wie du es dir laut Musterlösung vorstellst. Du kannst doch nachher leicht prüfen, ob du damit auf eine akzeptable Lösung kommst.

Das ist nur eine ähnliche Aufgabe, und ich konnte mir bisher nicht wirklich vorstellen, wie ich die Muster als Zielfunktion und Nebenbedingungen darstellen soll. Der eigentliche Punkt der Aufgabe ist ja, das Lineare Programm  zu formulieren und nicht zu lösen. Deshlab wollte ich wissen, ob ich die Lösung aus dem Buch auf das Problem mit den Papierrollen anwenden könnte.

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Das ist nur eine ähnliche Aufgabe, und ich konnte mir bisher nicht wirklich vorstellen, wie ich die Muster als Zielfunktion und Nebenbedingungen darstellen soll.

Dazu hatte ich die Lösung geschrieben

https://www.mathelounge.de/1096953/wie-lineares-programm-formulieren?show=1096998#c1096998

und daraus den Ansatz, indem ich den Lösungsvektor durch Platzhalter ersetzt und ausmultipliziert habe.

https://www.mathelounge.de/1096953/wie-lineares-programm-formulieren?show=1097082#a1097082

Wenn du es dir da immer noch nicht vorstellen kannst, solltest du sagen, woran du genau scheiterst.

Du hast ja auch den Tipp bekommen, dass du noch weitere Schnittmuster hinzufügen kannst, wenn du nur Gleichungen aufstellen möchtest. Ärgerlicherweise steigt damit dann eben auch die Anzahl der Unbekannten.

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Wenn du es dir da immer noch nicht vorstellen kannst, solltest du sagen, woran du genau scheiterst.

Mittlerweile habe ich es verstanden. Ich glaube, die vielen verschiedenen Variablen in deinem Ansatz haben mich verwirrt

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Das mit dem Python-Buch verstehe ich jetzt nicht. Ich habe doch das LP mit Zielfunktion und Nebenbedingungen aufgeschrieben zur Aufgabe, für die Du danach gefragt hast. Und dann kommst Du mit einer Musterlösung, die Du aber nicht hinschreibst, zu einer anderen Aufgabe?

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Und ich verstehe nicht, dass meine Antwort vollkommen ignoriert wird, die zeigt, wie man da vorgeht. Alle anderen haben nur nachgeplappert!

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Eine Dreherei erhält von ihrem Materiallieferanten Edelstahl stets in Form von 3m langen Stangen.

Diese müssen für die verschiedenen Aufträge zunächst in Stücke der Lange L1 = 1m, L2 = 2m, L3 = 1.5m und L4= 0,9m zersägt werden, von denen 10, 45, 21 und 42 Mengeneinheiten benötigt werden.

Wie kann man den Bedarf an unterschiedlich langen Stangen decken und gleichzeitig dafür sorgen, dass der Verschnitt (und damit der gesamte Materialeinsatz) möglichst gering ist?

Das Vormaterial sei unbegrenzt verfügbar.

ci= Verschnitt

nj=Bedarf

Kann ich die Aufgabe mit den Papierrollen ähnlich lösen? Ich müsste dabei nur beachten, dass die Nebenbedingungen entsprechend angepasst werden, da in der Aufgabe nicht angegeben ist, ob eine Überproduktion erlaubt ist.

Dein Ansatz hat mich anfangs etwas verwirrt, insbesondere wegen der verschiedenen Variablen. Mittlerweile habe ich ihn jedoch verstanden, wusste aber nicht, wie ich ihn umsetzen sollte. Nachdem ich die Aufgabe im Buch gelesen habe, kam die Erleuchtung.

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Ich danke euch allen, die mir geantwortet haben und mir helfen wollten.

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Und die Lösung im Buch macht genau das, was ich bereits gestern gesagt habe. Die Lösung geht hier allerdings von einer Überproduktion aus.

Meine Notation war halt in Vektorschreibweise, weil es üblich ist, die Zielfunktion in der Form \(c^Tx\) anzugeben (also als Skalarprodukt zweier Vektoren) und die Nebenbedingung als (Un)Gleichungssystem, zum Beispiel \(Ax=b\) oder eben \(Ax\geq b\). Für jemanden, der sich mit linearer Optimierung befasst, sollte die Schreibweise eigentlich geläufig sein.

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Nachdem ich die Aufgabe im Buch gelesen habe, kam die Erleuchtung.

Prima, dass du es verstanden hast. Ja. Manchmal ist es ganz nützlich ein Buch zur Hand zu nehmen, in dem ein sehr ähnliches Beispiel schon vorgerechnet wird.

Und die Aufgabe der Dreherei ließ sich ja wirklich 1:1 auf deine Aufgabe übertragen.

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Alle anderen haben nur nachgeplappert! ... Meine Notation war halt in Vektorschreibweise ... Für jemanden, der sich mit linearer Optimierung befasst, sollte die Schreibweise eigentlich geläufig sein.

Die "vorgeplapperte" Schreibweise war dem Fragesteller offenbar nicht geläufig. Mittlerweile berichtet er auch ohne diese Schreibweise von seiner "Erleuchtung", durch Edelmetallstangen anstatt Papierrollen. Freude herrscht.

Wenn man übrigens die beiden Vereinfachungsschritte macht, die ich im ersten Kommentar unter der Frage geschrieben habe, dann reduziert sich die Anzahl der Optima (mit Verschnitt 505) von tausenden auf 10 Lösungen, ohne dass man arbiträr irgendwelche möglichen Schnittmuster ausschließen müsste.