Ist es möglich die Funktion durch bekannte Reihen darzustellen?

Question

Aufgabe:

$$f(x) = \frac{(sin(x))^3}{1 - cos(x)}$$

Die Aufgabe ist es, diese Funktion als Potenzreihe durch bekannte Reihen darzustellen.

Problem/Ansatz:

Mein Ansatz war es die Funktion zu (1 - cos(x)^2)*(1 - cos(x)) umzuformen. Weite komme ich aber nicht. Ist es möglich die Funktion durch bekannte Reihen darzustellen? Alternativ könnte man die Reihe natürlich als Taylor bzw., MacLaurin Reihe entwickeln. In der Aufgabe ist aber kein Entwicklungspunkt gegeben und ich glaube das ist auch nicht gefragt. Vielen Dank im Voraus.

Answer 1

Eine Reihenentwicklung basiert immer auf einem Entwicklungspunkt. Wenn keiner angegeben ist, suchen wir uns mal \(x_0=0\) aus (Stichwort "bekannte Reihen").

Zum Umschreiben benutze \(\sin^3 x=\sin x\cdot (1-\cos^2x)\) und kürze (3. bin. Formel). Beachte dann noch \(\sin 2x=2\sin x\cos x\) und addiere die beiden Reihen, fertig.

Tipp: Verwende in LaTeX \sin und \cos.

Comments

Super, Vielen Dank. Wenn man so umformt ist es tatsächlich ziemlich simpel :)

---

Zum Umschreiben benutze \(\sin^3 x=\sin x\cdot (1-\cos^2x)\) 

Diese Identität kann nicht jeder aus dem Handgelenk schütteln.

Naheliegend ist aber die Erweiterung des Bruchs mit
\((1+\cos x)\) .

---

Da steckt nur der trigonometrische Pythagoras hinter. Den sollte man kennen.

---

Vor allem braucht man den eh, auch wenn man den Bruch erweitert, oder nicht?

Und da braucht man dann auch noch die 3. binomische Formel.

Ich tue mich echt schwer mit diversen Formeln, die auf den Additionstheoremen beruhen. Aber den trigonometrische Pythagoras sollte man echt können.

Answer 2

Ich hätte probiert den Term irgendwie als Summe zu schreiben.

sin^3(x) / (1 - cos(x))

= sin^2(x) * sin(x) / (1 - cos(x))

= (1 - cos^2(x)) * sin(x) / (1 - cos(x))

= (1 + cos(x)) * (1 - cos(x)) * sin(x) / (1 - cos(x))

= (1 + cos(x)) * sin(x)

= sin(x) + sin(x) * cos(x)

= sin(x) + 1/2 * sin(2x)

Das kann man jetzt recht einfach als Summe notieren.

Kommst du damit klar oder brauchst du da noch Hilfe?

Comments

Ja, genau das war auch meine Idee auf eine Summe zu kommen, hab mich nur irgendwie festgefahren. So macht es aufjedenfall Sinn, Danke!