Oberflächenintegral über die konstante Krümmungsfunktion der n-dimensionalen Sphäre

Question

Hallo zusammen,

aktuell höre ich die Analysis III. Hier habe ich eine Aufgabe, bei der ich mir nicht sicher bin, wie ich sie lösen soll. Für n=2 kann ich die Aufgabe sofort lösen. Ich glaube jedoch, dass die n allgemein sein sollen. Daher habe ich keine Idee, wie ich die Aufgabe lösen soll.

$$\text{ Sei }S=\left\{x\in\mathbb{R^{n+1}}: ||x||_{2}^{2}=r^{2}\right\}$$

$$\text{ die n-dimensionale Sphäre mit Radius r. Die Krümmungsfunktion der Sphäre ist gegeben durch }$$

$$K:S_{r}^{n}\rightarrow\mathbb{R}, K(x)=\frac{1}{r^{2}}.\text{ Zeigen Sie: }\int \limits_{S}Kds(x)=4{\pi}$$

Ich habe bisher auch nichts im Internet dazu gefunden.

Vielen Dank schon einmal für die Hilfe :)

Comments

Ich habe meinen Übungsgruppenleitern geschrieben und sie haben die Aufgabe präzisiert. Die Menge S ist jetzt die Menge $$S_{r}^{n}$$ und wir betrachten nun die n-1-dimensionale Sphäre mit Radius r.

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Langsam wird es peinlich. Nun ist $$x\in\mathbb{R^{n}}$$ bezogen auf die Menge $$S_{r}^{n}$$

Answer 1

Müßte das nicht genauso gehen wie im n=2 Fall? N-dim Kugelkoordinaten verwenden und analog rechnen?

Comments

Ich glaube, dass ich es mir zu einfach vorgestellt habe. Bin wirklich ratlos.

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Ich hsve fie Aufgabe noch nicht verstanden: r ist doch für die Aufgabe eine Konstante? Eine Konstante kann man " vor das Integral ziehen", es bleibt das Integral über 1, also das Maß der Menge???

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Maß der Menge = Oberfläche der Kugel.

Für \(n=3\) sieht man das ja schnell ein, da man die Formel für die Oberfläche einer Kugel kennt:

\(O=\frac{1}{r^2}\cdot 4\pi r^2=4\pi\)

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Die Aussage muss für alle n gelten, oder? Denkst du, dass ein Induktionsbeweis funktionieren kann?

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Nö. Aber ich frage mich gerade, ob die Aussage so überhaupt stimmt. Für \(n=3\) ist es okay. Aber für andere Werte passt es halt nicht.

Für \(n=2\) gilt beispielsweise (das ist dann der Umfang eines Kreises):

\(u=\frac{1}{r^2}\cdot 2\pi r\neq 4\pi\)

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Ins unreine gesprochen als Grundidee: ist das nicht ein n-dim Fubini? Wenn man die n-dim Kugel in Kugelkoordinaten beschreibt, kann man die alle nacheinander ausrechnen (wie im 3 dim Fall) und nur ein Koordinate (ergo eines der Integrale )liefert einen Beitrag.

Wenn ich Zeit finde (bin unterwegs) probier ich das mal…

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Also reicht es die Aussage für n=3 zu zeigen und durchzurechnen?

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Nein. Die Aussage gilt einfach NICHT außer für \(n=3\). Ansonsten hätte man in der Aufgabe ja \(n=3\) vorgeben können. Hat man aber nicht. Wer auch immer die Aufgabe gestellt hat, hat da ordentlich geschlafen.

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Nein, man muß schon den n-dim Fall aufschreiben, aber es sollten fast alle der einzelnen Integrale wegfallen, analog zum 3d Fall. Den zu rechnen hilft also um zu verstehen, wie sich die Integrale verhalten.

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Hahaha ich sitze seit Montag an der Aufgabe. Ich habe alle in meinem Analysis Kurs damit genervt. Morgen ist Abgabe für die Aufgabe. Gerade habe ich auf Nachfrage die Antwort erhalten, dass ich es für n=3 zeigen soll, also quasi n=2 (wegen n-1). :( Vielen Dank an alle :)

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Herleitungen zur Berechnung der Oberfläche einer Kugel über das Integral, findet man genug im Netz. :)