Bestimme eine Formel zur Berechnung des Volumens des Körpers, der bei der Rotation des Trapezes um die längere Seite …

Question

Aufgabe:

Gegeben ist ein symmetrisches Trapezium mit der parallelen Seite a und c und der Höhe h. Bestimme eine Formel zur Berechnung des Volumens des Körpers, der bei der Rotation des Trapezes um die längere Seite a entsteht.

Problem/Ansatz:

Habe keine Ahnung

Answer 1

Der Körper kann in einen Zylinder und zwei Kegel unterteilt werden.

Answer 2

Die zweite guldinsche Regel lautet: "Das Volumen eines Rotationskörpers ist gleich dem Produkt aus dem Flächeninhalt der erzeugenden Fläche und dem Umfang des Kreises, der durch die Rotation des Flächenschwerpunktes dieser Fläche erzeugt wird."

Und der Radius dieses Kreises wird in dem untenstehenden Auszug als y_s bezeichnet.

(Bild von ingenieurkurse.de)

Comments

Wenn Du also das tust was in meiner Antwort steht, dann kommst Du auf die Formel

$\displaystyle V= \underbrace{\frac{h}{2}(a+b)\vphantom{\left(\frac{1}{1}\right)}}_{\text{Flächeninhalt}} \cdot \; 2 \pi\,\underbrace{\left(\frac{h}{3} \cdot \frac{a+2 b}{a+b}\right)}_{\text{Radius}} = \frac{1}{3} \pi h^{2} (a+2 b)$

Oder Du rechnest Volumen Zylinder plus zweimal Volumen Kegel:

$\displaystyle V= \underbrace{\pi h^2 \cdot b\vphantom{\left(\frac{1}{1}\right)}}_{\text{Zylinder}}+ 2\cdot \underbrace{\frac{1}{3}\cdot \pi h^2 \cdot \overbrace{\left(\frac{a-b}{2}\right)}^{\text{Kegelhöhe}}}_{\text{Kegel}}$

was daselbe ist.

(Ich schreibe hier b anstatt c weil es auch in der Skizze so genannt wird. Ersetze in Deiner Antwort mein b durch c.)

Und dann möchtest Du Dich als selbständig denkender Mensch noch überzeugen, ob meine Behauptung "was dasselbe ist" überhaupt zutrifft. Beispielsweise so:

$\displaystyle \frac{1}{3} \pi h^{2} (a+2 b) \stackrel{?}{=} \pi h^2 \cdot b + 2\cdot \frac{1}{3}\cdot \pi h^2 \cdot \left(\frac{a-b}{2}\right) \quad \Biggm\lvert :\;(\pi h^2)$

$\displaystyle \frac{1}{3} (a+2 b) = b + 2\cdot \frac{1}{3} \cdot \left(\frac{a-b}{2}\right) \quad\Biggm\lvert \; \text{ausmultiplizieren}$

$\displaystyle \frac{1}{3}a+ \frac{2}{3} b = \frac{1}{3}a+\frac{2}{3}b \quad \text{q.e.d.}$

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Ist mit drehen dort dann gemeint, dass man es die ganze Zeit um 360 grad dreht und dadurch dann halt eine andere Form entsteht?

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Ja, gemeint ist das was in der Aufgabe steht, nämlich das

Volumen des Körpers, der bei der Rotation des Trapezes um die längere Seite a entsteht.

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Ist hier in der Formel h² das was normal immer r² ist?

Danke für die Hilfe

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Ja. Weil die Höhe h des Trapezes ja der Radius des Kreises ist, wenn dieses Trapez um die a-Achse rotiert wird. Und dieser Kreis ist die Grundfläche von Zylinder und den beiden Kegeln.

Answer 3

Das Volumen des Rotationskörpers um die x-Achse besteht aus 3 Körpern:

Die Höhe $h$ des Trapezes wird zum Radius der 3 Körper:

1. Kegel: $V_K=\frac{1}{3}h^2\cdot π \cdot d_1$

2. Zylinder: $V_Z=h^2\cdot π \cdot c$

3. Kegel: $V_K=\frac{1}{3}h^2\cdot π \cdot c_1$

Comments

Was der Aufgabenautor mit dem Wort "symmetrisches" wohl gemeint haben mag?

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Dann ist es ja noch einfacher.

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Aber die Farbwahl überzeugt.

Answer 4

Zylindervolumen plus Doppelkegelvolumen:

Comments

Da in der Aufgabe

die längere Seite a

erwähnt wird, befürchte ich, Dein skizzenerstellender Assistent hat a und c verwechselt.

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Ja, a und c sind vertauscht worden.