Bestimmen Sie reelle Zahlen für d und y_{0} so, dass der Graph von g auf den Graphen von f abgebildet wird

Question

4. Gegeben sind die Funktion \( f \) mit \( f(x)=\mathrm{e}^{-x} \) sowie die Funktion \( g \) mit \( g(x)=a \mathrm{e}^{-(x-d)}+y_{0} \). Bestimmen Sie reelle Zahlen für \( d \) und \( y_{0} \) so, dass der Graph von \( g \) im Vergleich zum Graphen von \( f \)
a) an \( \operatorname{der} x \)-Achse gespiegelt ist.
b) um 2 Einheiten nach unten verschoben ist.
c) mit dem Faktor 0,5 in \( y \)-Richtung gestreckt ist.
d) um 3 Einheiten in \( x \)-Richtung verschoben ist.
e) an der \( x \)-Achse gespiegelt, um 2 Einheiten nach unten und um 3 Einheiten in \( x \)-Richtung verschoben sowie mit dem Faktor 0,5 in \( y \)-Richtung gestaucht ist.

Comments

Deine Ansätze und konkreten Schwierigkeiten fehlen!

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Überlege doch mal: Wenn ich den Punkt (1,3) (zum Beispiel) an der x- Achse spiegele, welchen Punkt erhalte ich dann. Kannst Du das auf einen beliebigen Punk (x,y) verallgemeinern. Und dann auf den Graphen von f?

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Abbildungen erfordern das Ersetzen von x bzw. f(x) durch elementare Funktionen dieser Variablen und nicht das Einsetzen reeller Zahlen.

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Ich habe vorgeschlagen, mal mit dem grundsätzlichen Verständnis von Spiegelung zu beginnen...

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Nicht mehr notwendig. Gibt ja jetzt die Lösung. :)

Answer 1

Gegeben sind die Funktion f mit f(x) = e^{-x} sowie die Funktion g mit g(x) = a·e^{-(x - d)} + y0. Bestimmen Sie reelle Zahlen für a, d und y0 so, dass der Graph von g im Vergleich zum Graphen von f

a) an der x-Achse gespiegelt ist.

a = -1 ; d = 0 ; y0 = 0

b) um 2 Einheiten nach unten verschoben ist.

a = 1 ; d = 0 ; y0 = -2

c) mit dem Faktor 0,5 in y-Richtung gestreckt ist.

a = 0.5 ; d = 0 ; y0 = 0

d) um 3 Einheiten in x-Richtung verschoben ist.

a = 1 ; d = 3 ; y0 = 0

e) an der x-Achse gespiegelt, um 2 Einheiten nach unten und um 3 Einheiten in x-Richtung verschoben sowie mit dem Faktor 0,5 in y-Richtung gestaucht ist.

a = -0.5 ; d = 3 ; y0 = -1

Comments

Müsste bei e) nicht y0 =-2 rauskommen, da die Verschiebung um 2 Einheiten nach unten y 0 = − 2 y 0 =−2 erfordert. Der Wert y 0 = − 1 y 0 =−1 würde nur eine Verschiebung um 1 Einheit nach unten bewirken

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Nein. Der Graph wird zusätzlich noch mit dem Faktor 0,5 gestaucht, so dass die Verschiebung entsprechend auch halbiert wird.

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Genau. Leider spielt da die Reihenfolge der Operatoren eine Rolle. Es macht also einen Unterschied, ob man zuerst in y-Richtung verschiebt und dann in Y-Richtung streckt oder umgekehrt.

Wenn ich die Reihenfolge im Term nachbilden möchte dann sieht das so aus

y = e^{-x}

an der x-Achse gespiegelt

y = -e^{-x}

um 2 Einheiten nach unten

y = -e^{-x} - 2

und um 3 Einheiten in x-Richtung verschoben

y = -e^{-(x - 3)} - 2

sowie mit dem Faktor 0,5 in y-Richtung gestaucht

y = 0.5(-e^{-(x - 3)} - 2)
y = -0.5e^{-(x - 3)} - 1