Kurvendiskussion; gebrochenrationale Funktion

Question

Aufgabe:

f(x)= \( \frac{2x^{2}+x-3}{x^{2}+2x-3} \)   D_f = ℝ\{-3, 1}

a) Entwickeln Sie den Graphen von f aus dem Graphen der zugehörigen Grundfunktion und zeigen Sie, dass die Funktion f streng monoton steigend für x < −3 oder für x > −3 ist. Geben Sie den Wertebereich der Funktion an.

b) Zeigen Sie, dass die Funktion f stetig ist. Beschreiben Sie das Verhalten der Funktion im Unendlichen.

c) Hat f in x = −3 eine Unendlichkeitsstelle? Ist die Funktion f beschränkt?

d) Welche reellen Werte von x ∈ Df erfüllen die Ungleichung f(x) < 3?

e) Sei a eine reelle Zahl. Betrachten Sie die Funktion g : IR \ {−3} → ℝ mit { f(strich)(x), x≠1   ;   a, x=1

Für welche Werte von a hat \( \overline{f} \) in x = 1 eine Sprungstelle? Wie muss man den Wert von a festlegen, damit die Funktion f(strich) im D_{\( \overline{f} \)} stetig wäre?

Problem/Ansatz:

Für a) habe ich bereits die Grundfunktion berechnet f(x) =\( \frac{2x+3}{x+3} \) wie zeige ich nun die Monotonie (die Ableitung habe ich schon gemacht) und wie komme ich auf den Wertebereich?

b) Das Verhalten im Unendlichen habe ich jeweils für ∞ und -∞ gemacht kommt bei beiden 2 raus wie zeige ich die Stetigkeit?

c) Die Unendlichkeitsstelle ja, weil ein Vorzeichenwechsel ist. Wie weise ich die Beschränktheit nach?

d) Da habe ich x∈(-∞,-6),(-3,1),(1,+∞). Ist das richtig?

e) Da habe ich \( \frac{5}{4} \). Ist das richtig?

Answer 1

f(x) =\( \frac{2x+3}{x+3} \)  kannst du zu f(x) = \( \frac{-3}{x+3} \)+2 umformen.

Dieser Funktionsterm kann nie den Wert 2 annehmen, weil \( \frac{-3}{x+3} \) nie 0 wird.

Die die Funktion 1/x monoton fallend ist, ist auch 1/(x+3) und 3/(x+3) monoton fallend.

Die Multiplikation von 3/(x+3) mit -1 erzeugt eine Spiegelung an der x-Achse,  -3/(x+3) ist also monoton wachsend.

Daran ändert auch die Verschiebung um 2 Einheiten nichts.

Answer 2

a)

Sollte die Grundfunktion nicht g(x) = 1/x sein? Zu dieser Funktion kennst du die Monotonie. Streng monoton fallend für x < 0 und streng monoton fallend für x > 0

f(x) erhalten wir aus g(x) durch Anwendung der Parameter

f(x) = a·g(x + c) + d = -3·g(x + 3) + 2 = -3·1/(x + 3) + 2

Das minus im Parameter a bewirkt eine Spiegelung an der x-Achse, welche die Monotonie umkehrt. Das Strecken und Verschieben in Richtung der y-Achse ändert nichts an der Monotonie. Der Graph wird aber auch noch um 3 Einheiten nach links verschoben. Daher ist der Graph jetzt streng monoton steigend für x < -3 und streng monoton steigend für x > -3.

b)

Was weißt du über de Stetigkeit der Grundfunktion g(x)? Was ändern daran geometrische Operationen oder das hinzufügen einer Definitionslücke? Das Verhalten im Unendlichen ist richtig.

c)

Eine Unendlichkeitsstelle (Polstelle) kann man auch ohne einen Vorzeichenwechsel haben. Betrachte dazu y = 1/x². Da wir hier eine Unendlichkeitsstelle mit Vorzeichenwechsel haben ist die Funktion allerdings nicht beschränkt.

d) und e) hast du auch richtig.