Wie lang ist eine Quadratseite?

Question

K, L, M, N sind die Seitenmitten des Quadrats OPQR:

Der Mittelpunkt eines Kreises durch K liegt auf KM. Ein Punkt des Kreises hat von N den Abstand 6. Ein Punkt des Kreises hat von M den Abstand 8. Wie lang ist OP?

Comments

OP=2x

Rechtwinkliges Dreieck im Halbkreis, Höhensatz:

x(x-8)=(x-6)²

x²-8x=x²-12x+36

4x=36

x=9

2x=18

:-)

Answer 1

\(\begin{aligned}a &= 8+2r\\a &= 2\cdot 6 + s \\r^2 &= \left(\frac{s}{2}\right)^2 + k^2 \\k+r &= \frac{a}{2}\end{aligned}\)

Comments

Hier noch eine Skizze

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Warum denn so kompliziert mit so vielen Variablen ?

Mit der halben Quadratseite b und dem Höhensatz ergibt sich doch sofort (b-6)^2 = (b-8)*b
(und dies ist noch nicht einmal eine quadratische Gleichung).

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Es ist für die Lösung der Aufgabe hinreichend.

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oswald: Man kommt mit weniger Unbekannten aus. hj2166 kommt sogar mit einer einzigen aus.

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Roland: Danke für den Hinweis. Allerdings wusste ich das bereits kurz nachdem ich den Kommentar von hj2166 gelesen hatte.

Answer 2

Wenn O der Ursprung ist und a die Kantenlänge und man den Punkt auf dem Kreis bei (6 │ a/2) in eine Kreisgleichung einsetzt, dann erhält man die Lösung.