Rekursionsvorschrift ist gesucht

Question

Die Glieder a_n einer Zahlenfolge erfüllen (der Größe nach geordnet) die Bedingung \( \sqrt{3a_n^2+1} \)∈ℕ. Gib eine Rekursionsformel für (a_n)_n∈ℕ an.

Comments

https://oeis.org/A001075

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Gute Idee bei OEIS nachzuschauen. Übersehen wurde, dass dort die Folge (a_m)_m∈ℕ mit a_m= \( \sqrt{3a_n^2+1} \)∈ℕ steht. Gesucht ist die Formel für (a_n)_n∈ℕ.

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Dann vielleicht https://oeis.org/A001353 ?

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Die Glieder an einer Zahlenfolge erfüllen (der Größe nach geordnet) die Bedingung \( \sqrt{3a_n^2+1} \)∈ℕ. Gib eine Rekursionsformel für (an)n∈ℕ an.

Mit \( \sqrt{3a_n^2+1} = m\) erhält man für \(m \in \N\) die Werte für \(a_n\).

\(a_n=\pm\frac{m^2-1}{3}\)

\(m=1 \Rightarrow a_n=0\)

\(m=2 \Rightarrow a_n=\pm1\)

\(m=3 \Rightarrow a_n=\pm\frac 8 3\)

usw.

Da es kein kleinstes Folgenelement gibt, ist die Aufgabe nicht lösbar.

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Quadratzahlen sind

3·0²+1=1=1²

3·1²+1=4=2²

3·4²+1=49=7²

3·15²+1=676=26²

3·56²+1=9409  =97²

3·209²+1=,... = 362²

3·780²+1=,... = 1351²  usw.

Die müssen ja aber nicht unbedingt alle vorkommen.

Was meinst du mit "Der Größe nach geordnet"?

Wenn  \( \sqrt{3a_n^2+1} \)∈ℕ gilt, so gilt  \( \sqrt{3a_n^2+1} \)∈ℕ (unabhängig davon, ob die die Folge a_n ständig wächst oder ständig fällt oder alterniert).

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Fazit: Wieder eine zu ungenaue Aufgabenstellung, da keine zusätzliche Voraussetzung an die Folgenglieder, ob ganzzahlig oder nicht, gegeben ist.

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Fazit: Wieder eine zu ungenaue Aufgabenstellung, da keine zusätzliche Voraussetzung an die Folgenglieder, ob ganzzahlig oder nicht, gegeben ist.

Soweit zu lesen war, sollen die Folgenglieder natürliche Zahlen sein.

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Wo steht das?

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Okay, das steht da gar nicht. Die Auswahlbedingung fordert, dass der Wurzelterm eine natürliche Zahl liefert.

Answer 1

Hallo Roland,

gibt es da nicht mehr als eine Möglichkeit? z.B. $$a_0 = 0 \\ a_1 = \sqrt{5} \\ a_{n} = \sqrt{2a_{n-1}^2 - a_{n-2}^2 +6} \quad n \ge 2$$

Answer 2

a_n=\( \sqrt{\frac{(n+1)*(n-1)}{3}} \) für n≠3m n,m∈ℕ sowas?

lul

Comments

Das ist aber explizit und nicht rekursiv.

Ich hätte anzubieten:

a_1=1

a_{n+1}=a_n