Ablehungsbereich bei rechtsseitigem Hypothesentest bestimmen: zwei verschiedene Ergebnisse

Question

Aufgabe:

Ein normaler Würfel steht unter Verdacht, zu häufig die Eins anzuzeigen.

Nullhypothese: p≤1/6

Alternativhypothese: p>1/6

-> rechtsseitiger Test

n= 500

Signifikanzniveau 1%

Problem/Ansatz:

Ich möchte den Ablehnungsbereich bestimmen. Das geht auf zwei verschiedene Arten:

Mit Tabelle:

P(X≥k)≤0,01

1-P(X≤k-1)≤0,01

P(X≤k-1)≥0,99

P(X≤103)=0,9909

-> k=104

Mit Sigma-Regeln

μ=83\( \frac{1}{3} \)

σ=8\( \frac{1}{3} \)>3

μ-2,33•σ=102,73 -> k=103

Warum kommt bei der ersten Variante 104 und bei der zweiten 103 heraus?

Answer 1

Bei der Variante mit den \(\sigma\)-Regeln kann es zur einer Abweichung kommen, da es sich eben nur um eine Approximation an die Binomialverteilung handelt. Auch wenn die Laplace-Bedingung \(\sigma>3\) erfüllt ist, kann es dazu führen, dass die Grenzen nicht übereinstimmen. Daher sollte bei Verwendung dieses Ansatzes immer überprüft werden, ob das Signifikanzniveau mit dieser Grenze tatsächlich auch unterschritten wird.

Answer 2

P(X ≤ 103)=0,9909

103 gehört noch zum Annahmebereich. 104 gehört in den Ablehnungsbereich.

μ - 2,33•σ = 102,73 -> k = 103

Auch hier gehört 103 noch in den Annahmebereich und ab 104 wird die Nullhypothese abgelehnt.

Das ist also alles so wie es sein soll oder hattet ihr das anders definiert?

Comments

Korrektur Tippfehler: Es muss natürlich +2,33 sein, nicht -

Ich dachte, dass ich damit in beiden Varianten die untere Grenze des Ablehnungsbereichs bestimme. Bei einem andere Beispiel war es so:

p₀≤0,4

p₁>0,4 -> rechtsseitiger Test

Signifikanzniveau 5%, n=100

P(X≥k)≤0,05

1-P(X≤k-1)≤0,05

P(X≤k-1)≥0,95

P(X≤48)=0,9576

-> k=49

μ=40, σ=4,899>3

μ+1,64σ=40+8,03=48,03 

-> k= 49

Also Ablehnungsbereich [49;100]

Hier stimmen beide Werte überein

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Ich habe es so gelernt, dass man den kritischen Wert K bestimmt. Das ist der Wert, der gerade noch in den Annahmebereich der Nullhypothese fällt.

P(X ≤ 48) = 0,9576 → K = 48

μ + 1,64σ = 40 + 8,03 = 48,03 → K = 48

Achtung. Hier ergeben kaufmännisch gerundete Werte korrektere Werte als wenn du bei 48.03 pauschal aufrundest.

Bedenke dabei, dass die Normalverteilung hier ja nur als Näherung eingesetzt wird und daher ab und zu auch daneben liegen kann.

Der genäherte Wert K über die Normalverteilung kann man aber gerne über die Binomialverteilung kontrollieren. Das gilt vor allem, wenn die Standardabweichung nicht größer als 3 ist.