Stochastik: Hypothesentest und Fehler 2 art

Question

Ein Hersteller untersucht regelmäßig die Qualität seiner Bauteile während der laufenden Produktion. Neben der optischen Kontrolle werden stichprobenartig Röntgenuntersuchungen vorgenommen, um Schwachpunkte und Fehler in der Gleichförmigkeit einer Charge auszu-machen. Es wird das Ziel verfolgt, dass höchstens 5% der hergestellten Bauteile nicht den selbst gesetzten Vorgaben entsprechen dürfen. Die Qualitätskontrolle entnimmt eine Stichprobe von 40 Bauteilen. Sind mindestens sieben Bauteile fehlerhaft, so wird das Herstellungsverfahren untersucht.

a) Stellen Sie die Null- und Alternativhypothese zum Signifikanzniveau a = 5% auf.
b) Bestimmen Sie den Annahme- und den Verwerfungsbereich.
c) Berechnen Sie die Irrtumswahrscheinlichkeit.
d) Beschreiben Sie im Sachzusammenhang, worin ein Fehler 2. Art besteht.
e) Der Hersteller vergrößert den Umfang einer Charge und unterzieht daher künftig 80 Bauteile der Prüfung. Die Wahrscheinlichkeit für unnötige Untersuchungen des Herstellungsverfahrens soll sich durch die Vergrößerung nicht erhöhen.
(1) Bestimmen Sie, wie groß die Anzahl fehlerhafter Teile nun sein muss.
(2) Berechnen Sie den Fehler 2. Art, wenn die Wahrscheinlichkeit für ein fehlerhaftes Bauteil tatsächlich 0,06 beträgt.

Meine Lösungen:
n= 40 p=0,05

µ= n mal p = 2
Ω= √0,05 mal 0,95 mal 40 = 1,3784

a) h0= p=0,05 h1= p= >0,05

b) Annahme Bereich= 0-6
Verwerfungsbereich=7-40

c) Beim fehler 2 art geht man davon aus das die h0 Hypothese zutrifft obwohl eigentlich die h1 hypothese zutrifft. Im sachzusammenhang bedeutet dass das man davon ausgeht das die Qualität sich nicht verschlechtert hat, obwohl sie eigentlich verschlechtert hat.

e) n= 80 p = 5%
µ= 80 mal 0,05 = 4
Ω= √80 mal 0,05 mal 0,95 = 1,94936

(1)
Binomcdf(80,0.05,7,80) = 0,105
Binomcdf(80,0.05,8,80) = 0,046

Annahme Bereich = 0-7
Verwerfungsbereich = 8-80

(2)
Fehler 2 art = binomcdf(80,0.06,8,80)=0,106
Die Wahrscheinlichkeit für den fehler 2 art liegt bei 10,6%

Leider habe ich keine Lösungen zu den Aufgaben. Daher würde es mich freuen wenn einer von euch die Richtigkeit meiner Ausarbeitung überprüfen könnte. Vielen dank im voraus

Beste grüsse

Answer 1

a) h0= p=0,05 h1= p= >0,05

\(H_1:p>0,05\), in der Alternativhypothese ist nie ein "gleich" enthalten.

b) Annahme Bereich= 0-6
Verwerfungsbereich=7-40

Nein. Du musst den kritischen Wert \(k\) so berechnen, dass \(P(X\geq k)\leq 0,05\) ist. Die Wahrscheinlichkeit \(P(X\geq k)\) ist dann auch zugleich deine Irrtumswahrscheinlichkeit, die du offenbar nicht berechnet hast.

(2)
Fehler 2 art = binomcdf(80,0.06,8,80)=0,106
Die Wahrscheinlichkeit für den fehler 2 art liegt bei 10,6%

Für den Fehler 2. Art berechnest du die Wahrscheinlichkeit für den Annahmebereich der Nullhypothese unter der Bedingung, dass die Alternative, hier mit \(p=0,06\), gilt. Du hast aber den Verwerfungsbereich genommen.