Aufgabe:
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Aufabe 1
a) z: \( \forall x \in(0, \infty) \wedge \forall n \in \mathbb{N}:(1+x)^{n} \doteq 1+x_{n} \)
Beweses per molution
\( \begin{array}{l} 1 A: n=0: \\ (1+x)^{2}=1 \\ 1+x: 0=1 \end{array} \)
1V: Aussage gill fei \( f n \in \mathbb{N} \).
\( \begin{array}{l} \text { 1S: } n \rightarrow n+1: \\ 1+x_{n}+x=1+x(n+1) \leqslant(1+x)^{n+1}=(1+x)^{n}(1+x) \\ (1+x)^{n}(1+x) \frac{\geq}{1 v}(1+x n)(1+x)=1+x+x n+n x^{2} \geq 1+x n+x \end{array} \)
Beweis über Binomialformel
\( \begin{aligned} (a+b)^{n} & =\sum \limits_{k=0}^{n}\binom{n}{k} a^{k} b^{n-k} \\ (x+1)^{n} & =\sum \limits_{k=0}^{n}\binom{n}{k} x^{k} 1^{n-k} \\ & =\binom{n}{0} x^{0}+\binom{n}{1} x+\binom{n}{2} x^{2}+\cdots+\binom{n}{n} x^{n} \\ & =1+\frac{n!}{(n-1)!} x+\frac{n!}{2(n-2)!x^{2}}+\ldots+x^{n} \\ & =1+x n+\underbrace{\frac{n!}{2(n-2)!} x^{2}+\ldots+x^{n}}_{\geq 0} \\ & \geq 1+x_{n} \end{aligned} \)
\( \binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!} \)
\( \begin{aligned} \frac{n!}{(n-1)!} & =\frac{n \cdot(n-1)}{(n-1)} \\ & =n \end{aligned} \)
Problem/Ansatz:
Hi kann mir jemand zeigen kann, dass der rote Teil gleichgrößer 0 ist?
