Untersuchen Sie, ob die Ebene E die Kugel K schneidet, berührt oder keinen Punkt mit ihr gemeinsam hat.

Question

Aufgabe:

Untersuchen Sie, ob die Ebene E die Kugel K schneidet, berührt oder keinen Punkt mit ihr gemeinsam hat.

a) E: x₁+x₂+x₃=5        K: x₁² + x₂²  + x₃² = 25

Problem/Ansatz:

Ich weiß leider nicht wie ich anfangen soll, hättet ihr eventuell einen Vorschlag für einen Ansatz? Ich hätte an das Lotfußpunktverfahren gedacht.

Also der Mittelpunkt wäre ja M(-1|-1|-1) oder? Weil der Mittelpunkt steht in der Regel in der Gleichung aber mit umgekehrten Vorzeichen oder lieg ich falsch?

Dann hätte ich an die lotgerade gedacht, also

 →x = →OM + t * →n  (die Pfeile sollen den Vektor darstellen)

Aber was ist dann O?

Ich bedanke mich im voraus über eure Hilfe.

Answer 1

K: (x - 0)^2 + (y - 0)^2 + (z - 0)^2 = 5^2
K ist eine Kugel mit Mittelpunkt M(0 | 0 | 0) und einem Radius von 5.

E: x + y + z = 5
E ist eine Ebene mit dem Normalenvektor [1, 1, 1].

Berechne den Abstand des Kugelmittelpunktes M von der Ebene E.

d = |x + y + z - 5| / √3 = |0 + 0 + 0 - 5| / √3 = 5/√3 ≈ 2.887

Da der Abstand kleiner ist als der Kugelradius, schneidet die Ebene die Kugel in einem Schnittkreis.

Damit kannst du in einem nächsten Schritt auch Mittelpunkt und Radius des Schnittkreises bestimmen.

Skizze

Comments

Achso jetzt verstehe ich’s. Dankeschön! Ich hätte dennoch eine weitere Frage, wenn es okay ist. Und zwar hätte ich jetzt den Fall, dass die Ebene E: -3x₁+6x₂-2x₃=27 und K: (x₁-4)^2 + (x₂+1)^2 + (x₃-2)^2 = 49 ist.

Dementsprechend wäre der Normalenvektor n [-3;6;-2], der Mittelpunkt M(4|-1|2) und der Radius gleich 7 oder?

Ich habe dementsprechend dann versucht den Abstand zu berechnen, aber komme nicht mehr weiter. Mein Ansatz wäre:

d = |-3x₁+6x₂-2x₃-27| / √-3+6-2

d = |-3x₁+6x₂-2x₃-27| / √1

Wie kann ich denn wissen was x₁,x₂ und x₃ ist?

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Du setzt einfach den Punkt dessen Abstand du berechnen möchtest ein. Also den Mittelpunkt der Kugel. Achtung. Ich glaube du solltest die Abstandsformel nochmal lernen.

Der Abstand berechnet sich also aus

d = |- 3·x + 6·y - 2·z - 27|/√(3^2 + 6^2 + 2^2) = |- 3·4 + 6·(-1) - 2·2 - 27|/√49 = 7

Hier ist also der Abstand gleich dem Radius der Kugel, weshalb die Ebene die Kugel berührt. Es handelt sich also um eine Tangentialebene an die Kugel.

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Vielen Dank für Ihre Antwort, das hat mir wirklich weiter geholfen!

Answer 2

Also der Mittelpunkt wäre ja M(-1|-1|-1) oder? Weil der Mittelpunkt steht in der Regel in der Gleichung aber mit umgekehrten Vorzeichen oder lieg ich falsch?

Ja, aber nicht auf diese Weise. Beachte:

\(K:(x_1-0)^2+(x_2-0)^2+(x_3-0)^2=25\).

Man kann übrigens durch "scharfes Hinsehen" gemeinsame Punkte finden: setze je zwei Koordinaten gleich 0 und die übrige Koordinate gleich 5.

Der Schnitt einer Ebene mit einer Kugel ist dann ein Kreis. Man kennt drei Punkte des Kreises, also handelt es sich um den Umkreis des daraus entstehenden Dreiecks.

Eine Skizze ist immer hilfreich.