Aufgabe:
Sei \( k \) ein Körper mit \( p^{d} \) Elementen, wobei \( p \) eine Primzahl ist. Zeigen Sie, dass das Polynoms \( x^{p}-x \) in \( k \) genau die Nullstellen \( \{0,1,2, \ldots, p-1\} \) hat.
Lösung:
Falls \( k=\mathbb{F}_{p} \) sind die einzigen Elemente von \( k \) die Reste \( 0,1,2, \ldots, p-1 \) modulo \( p \).
Für jedes dieser Elemente gilt:
\( x^{p} \equiv x \quad \bmod p \)
kleiner Fermatscher Satz:
\( a^{p} \equiv a \quad \bmod p \)
für alle \( a \) in \( \mathbb{F}_{p} \).
Daher sind genau diese Elemente Nullstellen des Polynoms.
Kann man das so aufschreiben? Bzw. liege ich richtig?
