Aufgabe: Guten Tag, ich soll den folgenden Beweis komplett verstehen. Es geht um ein Tangentenviereck mit den Eckpunkten A, B, C und D.
In jedem Tangentenviereck ABCD gilt:
a) AB + CD = BC + DA; (V.3)
b) [ABI] + [CDI] = [BCI] + [DAI]; (V.4)
c) [ABCD] = rs; (V.5)
wobei I und r den Mittelpunkt bzw. Radius des einbeschriebenen Kreises sowie s
den halben Umfang von ABCD bezeichnen.
Beweis: a) Wir bezeichnen die Berührungspunkte der Seiten des Tangentenvier-
ecks ABCD mit dem Inkreis mit K, L, M, N. Im Dreieck AIK steht der Berührungsradius IK
stets senkrecht auf dem Tangentenabschnitt AK; Es ist somit recht-
winklig. Das gleiche gilt für das Dreieck AIN. Beide Dreiecke sind darüber hinau kongruent nach Kongruenzsatz SSW, da sie die Seite AI gemeinsam haben, die Seiten IK = IN gleich lang sind und in den Winkeln
Winkel IKA = Winkel INA = 90° übereinstimmen. Somit sind insbesondere ihre
Seiten AK = AN ≡ a gleich lang. Analog zeigen wir BK = BL ≡ b,
CL = CM ≡ c, DM = DN ≡ d. Die Summe der Längen gegenüber-
liegender Seiten ist daher AB + CD = a + b + c + d = BC + DA.
b) Da alle vier Dreiecke ABI, BCI, CDI, DAI dieselbe Höhe haben,
nämlich den Inkreisradius r, ist (V.4) eine direkte Folge des soeben
unter a) bewiesenen Satzes: [ABI] + [CDI] = r/2 (a + b + c + d) = [BCI] + [DAI].
c) [ABCD] = [ABI] + [BCI] + [CDI] + [DAI] = r(a + b + c + d) = rs.
Problem/Ansatz:
Ich habe mit Mitte dreißig nochmal ein Mathestudium (Lehramt) begonnen, daher sind meine Schulkenntnisse schon etwas her. Ich habe mir schon vieles angeeignet, aber Geometrie ist leider nicht mein Steckenpferd. Daher wäre es toll, wenn ihr eure Antworten wirklich ausführlich begründen könntet.
a) verstehe ich noch. Auch den Kongruenzsatz SSW verstehe ich.
Aber bei b) verstehe ich nicht, wie man auf die 2/r kommt.
Und bei c) komme ich überhaupt nicht weiter. Ist das der Umfang oder der Flächeninhalt des Tangentenvierecks? Was wird hier überhaupt bewiesen?
Vielen Dank schon mal. :-)
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