Vektoren auf Rechtwinkligkeit überprüfen

Question

Aufgabe:

Ist das Dreieck ABC rechtwinklig :

A( 1|1|2) , B(3|1|0), C(2|2|3)

Problem/Ansatz:

Ich habe bereits die Lösungen aber ich hinterfrage immer noch das Vorgehen.

Wenn ich das alles erstmal aufgestellt habe also : AB= (2|0|-2) BC = (-1|1|3) und AC=  (1|1|1)

Dann muss man das im Satz des Pythagoras eingeben und man erhält einzelne Werte. Um zu überprüfen ob es rechtwinklig ist muss man die beiden kleineren Werte addieren um zu schauen ob der größere Wert tatsächlich rauskommt oder man verwendet den Skalarprodukt.

Meine zwei Fragen sind nun :

1) Wenn man AC•BC rechnet, dann kommt doch nicht 0 raus , oder ?

2) Bei dem Wert von AB kam erstmals 2 Wurzel 2 . Ich habe Schwierigkeiten damit zu erkennen, dass es Wurzel 8 ist , daher frage ich mich warum mein Taschenrechner nicht einfach den normalen Wert ausspuckt, weil wenn man es mit der Wurzel 3 addieren würde müsste ja Wurzel 11 rauskommen das tut es so in der Form nicht. Was mache ich da am besten ?

Bei der Aufgabe muss das Dreieck nämlich rechtwinklig sein.

bei der B hatte ich auch so komische Wurzel Zahlen, ich weiß daher nicht ob ich die umformen muss oder nicht

Answer 1

vektoren auf rechtwinkligkeit überprüfen

Das steht nicht in der Aufgabe. Mit Pythagoras geht es so:

\( \lvert AB \rvert = \sqrt{8} \qquad \lvert BC \rvert = \sqrt{11} \qquad \lvert CA \rvert = \sqrt{3} \)

\( \sqrt{8}^2 + \sqrt{3}^2= \sqrt{11}^2\)    also rechtwinklig

Comments

Mich würde interessieren: Warum gibt's einen Daumen? Ich sehe hier nichts, was MC nicht schon geschrieben hätte?

Answer 2

Bei AB hast Du einen Fehler, AB steht senkrecht auf AC, Produkt ist Null.

Comments

Vielen Dank , ich habe jetzt bemerkt, dass ich mich vertippt hatte.

Wie wär’s in dem Fall mit der Wurzelschreibweise ?

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Ich find Produkt leichter, weniger zu rechnen

Answer 3

1) Wenn man AC•BC rechnet, dann kommt doch nicht 0 raus , oder ?

Muss es nicht. Es kommt drauf an, wo der rechte Winkel ist. In diesem Fall wäre der rechte Winkel dann bei \(C\). Wenn dies aber nicht der Fall ist, kommt da auch nicht 0 raus. Dann musst du zwei andere Seiten prüfen. Beachte: die beiden kürzeren Seiten (Katheten) bilden den rechten Winkel.

2) Bei dem Wert von AB kam erstmals 2 Wurzel 2 . Ich habe Schwierigkeiten damit zu erkennen, dass es Wurzel 8 ist , daher frage ich mich warum mein Taschenrechner nicht einfach den normalen Wert ausspuckt, weil wenn man es mit der Wurzel 3 addieren würde müsste ja Wurzel 11 rauskommen das tut es so in der Form nicht. Was mache ich da am besten ?

Hier verwendet man das Wurzelgesetz \(a\sqrt{b}=\sqrt{a^2b}\) für \(a>0\) (teilweises Wurzelziehen rückwärts). Du kannst dir das Problem mit dem Taschenrechner an dieser Stelle allerdings ersparen, wenn du ihn nicht benutzt, bzw. nur den Radikanden, also das, was unter der Wurzel steht, berechnest.

Und nein, \(\sqrt{3}+\sqrt{8}\neq \sqrt{11}\). Was du meinst, ist vermutlich der Satz des Pythagoras, wenn man die Wurzeln quadriert und dann addiert. Dann gilt selbstverständlich \(3+8=11\) und damit wäre die Rechtwinkligkeit erfüllt. Das gilt aber auch, wenn man mit \(2\sqrt{2}\) rechnet, denn das entspricht ja ebenso \(\sqrt{8}\).

Answer 4

Nur zur Kontrolle:

A = [1,1,2] ; B = [3,1,0] ; C = [2,2,3]

AB = B - A = [2,0,-2]
AC = [1,1,1]
BC = [-1,1,3]

|AB| = √(2^2 + 0^2 + 2^2) = √8
|AC| = √3
|BC| = √11

Da gilt |AB|^2 + |AC|^2 = |BC|^2, liegt der rechte Winkel bei A.

Kleiner Tipp: Tippe das Wurzelzeichen nicht mit in den Taschenrechner ein und rechne nur 2^2 + 0^2 + 2^2, wobei du 0^2 natürlich auch weglassen kannst. Dann bekommst du 8 heraus und nur beim Notieren schreibst du das Wurzelzeichen mit auf. Dann spart man sich, dass der Taschenrechner teilweise radiziert.

Ansonsten gilt: 2·√2 = √4·√2 = √(4·2) = √8

Viel schneller gehts mit

AB·AC = 2 + 0 - 2 = 0 → rechter Winkel bei A
AB·BC = -2 + 0 - 6 = -8
AC·BC = -1 + 1 + 3 = 3