fehlendes Verständnis zu Aufgaben zu e-Funktion

Question

Aufgabe:

Zudem ist gegeben die Funktion f durch f(x) = -e^ln(2)x+2; x∈ℝ
Der Graph von f ist K_f

a) Es gibt mehrere Geraden, die durch den Punkt Q(0/1) und einen weiteren Punkt durch K_f gehen. Geben Sie alle möglichen Werte für die Steigung dieser Geraden an.

b) Für 0≤x≤1 wird f durch eine quadratische Funktion q angenähert. Der Übergang des Graphen von q zu K_f soll im
Punkt (1/f(1)) stetig und im Punkt (0/f(0)) knickfrei sein. Bestimmen Sie den Wert, um den sich die Funktionswerte von f und q an der Stelle x=0,5 unterscheiden.

c) Begründen Sie, dass f eine Umkehrfunktion u besitzt. Bestimmen Sie, mit einer Genauigkeit von zwei Nachkommastellen, die Koordinaten eines Punktes (x/y) mit 0<x<1, der auch auf dem Schaubild von u liegt.

Problem/Ansatz:

Ich weiß nicht genau, ob mir einfach nur Wissen fehlt, aber ich verstehe diese Aufgaben absolut nicht. Mit fehlt hier hauptsächlich das Verständnis.

Answer 1

Wie, "diese Aufgaben"? Mathe-Aufgaben löst man schrittweise.

Also für a): Skizze des Graphen, zeichne ein paar Punkte auf \(K_f\) ein und dazu die gewünschte Gerade. Aus zwei geg. Punkten kannst Du eine Geradengleichung bestimmen und davon die Steigung. Fang mal an.

Welche Geraden bzw. Steigungen hast Du gefunden? Nach Beispielen versuch es allgemein.

Man kann \(f(x)\) noch vereinfachen unter Benutzung von \(e^{\ln 2}=...\) (Achtung, Potenzrechenregel!), muss man aber nicht.

Answer 2

Lass dir zunächst die Funktion f(x) zeichnen. Zeichne dann ein paar Geraden ein. Nun kannst du a) und c) schon fast grafisch bestimmen. Bei b) musstest du dir zumindest noch die quadratische Funktion q(x) zeichnen lassen.

a)

Die Steigungen der Geraden berechnen sich über

m = (f(x) - 1) / (x - 0) = (1 - 2^x)/x

m liegt dann im Wertebereich von R^{-}.

b)

Für die Funktionsgleichung der Parabel q(x) = ax^2 + bx + c gilt

q(0) = f(0)
q'(0) = f'(0)
q(1) = f(1)

Das sieht dann bei mir wie folgt aus

~plot~ 2-2^x;(ln(2)-1)x^2-ln(2)x+1 ~plot~

d = (2 - 2^0.5) - ((LN(2) - 1)·0.5^2 - LN(2)·0.5 + 1) = LN(2)/4 - √2 + 5/4 ≈ 0.009073

c)

Es sollte gelten

f(x) = x --> x = 0.5430 → P(0.5430 | 0.5430)

Comments

Ist der Ansatz f(x)=x bei c) einfach eine Art Formel, die man sich hierfür merken muss oder wie kann ich mir das genau erklären?

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Der Graph der Umkehrfunktion entsteht durch Spiegelung an der ersten Winkelhalbierenden, also am Graphen der Funktion \( y = x \). Daher müssen gemeinsame Punkte des Graphen einer Funktion und des Graphen ihrer Umkehrfunktion auf dieser Spiegelachse liegen. Das führt letztendlich dazu, dass man die Gleichung \( f(x) = x \) lösen muss.