Optimale Faktorkombination F(x₁,x₂)= 11x₁2 + 65x₁x₂ +20x₂2

Question

Optimale Faktorkombination F(x₁,x₂)= 11x₁2 + 65x₁x₂ +20x₂2

Aufgabe:

Die Produktionsfunktion eines Herstellers lautet F(x₁,x₂)= 11x₁²+ 65x₁x₂ +20x₂²

Man bestimme die optimale Faktorkombination zu den Preisen 83 für den ersten Faktor und 97 für den zweiten Faktor, wenn ein Produktionsniveau von 2661 erzielt werden soll.

Wie hoch ist der Einsatz von Faktor x₂?

Problem/Ansatz:

Ich habe 2261 = 11x₁² + 65x₁x₂ +20x₂²gemacht und dann wollt ich nach x₂ umformen, wobei dass dann bei mir rauskam (siehe Foto) Screenshot 2025-03-26 202036.png

Text erkannt:

$ \left\{y=\frac{1}{40}\left(-\sqrt{15} \sqrt{223 x^{2}+14192}-65 x\right), y=\frac{1}{40}\left(\sqrt{15} \sqrt{223 x^{2}+14192}-65 x\right)\right\} $

Das sieht mir sehr falsch aus... und ich weiß um ehrlich zu sein auch nicht weiter - könnte mir bitte jemand helfen? Vielen Dank im Voraus!

Gefragt vor 1 Tag von anonyonmous

📘 Siehe "Lagrange" im Wiki

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3XL · Answer 1 · 2025-03-27T12:24:45+0000

Die Frage ob ein Minimum vorliegt, kann über die Determinate der geränderte Hesse-Matrix beantwortet werden. In diesem Fall über folgende Matrix

$$ H = \begin{pmatrix} 0 & g_x & g_y \\ g_x & L_{xx} & L_{xy} \\ g_y & L_{yx} & L_{yy} \end{pmatrix} $$

$ g(x,y) $ ist hier die Nebenbedingung und $ L(\lambda,x,y) $ die Lagrangefunktion.

Gilt für die gefundenen Extremwertstellen das $ \det H < 0 $ gilt, liegt ein lokales Maximum vor.

Bei dieser Aufgabe ergibt sich ja als Lösung $ \lambda = -0.18 $, $ x = 5.01 $ und $ y = 5.48 $.

Diese Werte in die Determinante eingesetzt ergibt einen Wert für die Determinate von $< 0 $ also ein lokales Minimum.

Tschakabumba · Answer 2 · 2025-03-26T22:05:22+0000

Aloha :)

Du möchtest den Preis optimieren$$P(x;y)=83x+97y\to\text{Extremum}$$und zugleich eine konstane Nebenbedingung einhalten:$$F(x;y)=11x^2+65xy+20y^2\stackrel!=2661$$

Nach Lagrange muss bei einem Extremum der Gradient der zu optimierenden Funktion eine Linearkombination der Gradienten aller konstanen Nebenbedingungen sein. Da es hier nur eine Nebenbedingung gibt, heißt das:$$\operatorname{grad}P(x;y)\stackrel!=\lambda\cdot\operatorname{grad}F(x;y)\quad\implies\quad\binom{83}{97}\stackrel!=\lambda\cdot\binom{22x+65y}{40y+65x}$$

Da der Lagrange-Multiplikator $\lambda\ne0$ sein muss (sonst hätten wir die Nebenbedingung ignoriert), können wir die Gleichung der ersten Koordinate durch die der zweiten Koordinate dividieren:$$\frac{83}{97}=\frac{\lambda(22x+65y)}{\lambda(40y+65x)}=\frac{22x+65y}{40y+65x}\implies83(40y+65x)=97(22x+65y)\implies$$$$3320y+5395x=2134x+6305y\implies3261x=2985y\stackrel{\div3}{\implies}1087x=995y\implies$$$$\pink{y=\frac{1087}{995}\,x}$$

Wenn du die pinke Lagrange-Forderung in die Nebenbedinung $F(x;y)\stackrel!=2661$ einsetzt, findest du das Preisminimum bei$$x\approx5,01322\quad;\quad y\approx5,47675$$

Der_Mathecoach · Answer 3 · 2025-03-27T01:27:05+0000

Ich selber habe es rechnerisch nicht geprüft. Netterweise habe ich ja schon im ersten Post Wolframalpha gebeten, das zu minimieren.

Wolframalpha war auch so nett eine Skizze zu machen.

Als Student sollte man sich vielleicht Gedanken machen, wie der Graph der Nebenbedingung grundsätzlich verläuft.

Dann überlegt man sich wie Faktorkombinationen aussehen, die gleich teuer sind. Die liegen auf fallenden Geraden also gibt es eine Gerade die Tangente an den Graphen ist. und zwar die Gerade im Minimum.

Man könnte auch die Ränder der Nebenbedingung prüfen. Also wo man jeweils einen der Faktoren auf Null reduziert. Wenn man das macht sieht man das man dort teurer liegt.

Z.B.

y = 0
11x^2 = 2661 → x ≈ 15.55

83·15.55 + 97·0 = 1290.65

Dies wäre z.B. teurer als das gefundene Minimum.

Kommentiert vor 22 Stunden von Der_Mathecoach

Optimale Faktorkombination F(x₁,x₂)= 11x₁2 + 65x₁x₂ +20x₂2

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