Extremwertaufgabe: Welche Form muss das Haus haben, damit der Wärmeverlust möglichst gering ist?

Question

die werden immer schwerer ^^ so nun die frage

 

ein Haus mit quadratischen Grundriss werde vereinfacht durch einen kasten mit der Seitenlänge a und der Höhe h dargestell. Der umbaute Raum V ist vorgegeben. Der Boden sei ideal wärmeisoliert. Durch das Dach ströme pro m² dreimal soviel Wärme ab wie durch die Mauern. Welche Form muss das Haus haben, damit der Wärmeverlust möglichst gering ist? ( Hinweis: Wärmeverlust = K * Fläche)

 

Lösung a = 2/3 h glaub ich ^^ 

Answer 1

Nebenbedingung:

V = a^2·h
h = V/a^2

Hauptbedingung:

W = a^2·3 + 4·a·h

Hier die Nebenbedingung einsetzen

W = a^2·3 + 4·a·(V/a^2) = 3·a^2 + 4·V/a

W' = 6·a - 4·v/a^2 = 0
a = (2/3·V)^{1/3}

h = V/((2/3·V)^{1/3})^2 = (9/4·V)^{1/3}

h / a = (9/4·V)^{1/3} / (2/3·V)^{1/3} = 3/2
h = 1.5·a oder a = 2/3·h

Comments

wo sind hier die formeln und wie kann ich das auch so berechnen ? 

 woher hast du diese formel her? W = a²·3 + 4·a·h wie komm ich auf die

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Wärmeverlust = Dachfläche * 3 + Seitenflächen * 1
Das * 1 kann man sich aber schenken und weglassen.

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achso wird mir klar jetzt aber eine sache verwirrt mich noch wie kann die ableitung von 4*V/a = 4 * v/a² sein? ich hätte gedacht v und a fällt weg weil die ja eigentlich auch wie eine zahl gesehen werden oder?

sry das ich so viel frage digga^^

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V ist das Volumen das im Zweifel gegeben ist. Die Funktion ist aber abhängig von der Unbekannten a. Und daher ist nach a abzuleiten.