Scheitel der Parabel y = 2x^2 +8x-6 bestimmen

Question

wie bestimme ich den scheitel der parabel

y = 2x² +8x-6

bitte mit erklärung, danke

Answer 1

Alternativ zu der Methode, die Unknown beschreibt, kannst du auch zunächst die Nullstellen des Funktionsterms bestimmen, also:

f ( x ) = 2 x ² + 8 x - 6 = 0

<=> x ² + 4 x - 3 = 0

<=> x ² + 4 x = 3

Quadratische Ergänzung bestimmen (hier: 4 ) und auf beiden Seiten addieren:

<=> x ² + 4 x + 4 = 7

<=> ( x + 2 ) ² = 7

<=> x + 2 = ± √ 7

<=> x = - 2 ± √ 7

<=> x = - 2 - √ 7 oder x = - 2 + √ 7

Wenn die Funktion, wie hier, zwei Nullstellen hat, dann liegt die Scheitelpunktstelle xs wegen der Symmetrie einer Parabel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen, also:

xs = ( - 2 - √ 7 + ( - 2 )  + √ 7) / 2 = - 4 / 2 = - 2

Die y-Koordinate ys des Scheitelpunktes ergibt sich durch Einsetzen von xs in den Funktionsterm:

y = 2 x ² + 8 x - 6

also:

ys = 2 ( - 2 ) ² + 8 ( - 2 ) - 6 = - 14

Der Scheitelpunkt S hat also die Koordinaten: S ( - 2 | - 14 ) 

 

Hier ein Schaubild des Graphen von f ( x ):

https://www.wolframalpha.com/input/?i=2x^2%2B8x-6

 

Anmerkungen:
- Wenn die Funktion nur eine Nullstelle hat, dann ist diese gleichzeitig auch die Scheitelpunktstelle.
- Wenn die Funktion keine Nullstelle hat, dann muss man den Scheitelpunkt anders bestimmen, z.B. durch Umformung des Funktionsterms in die Scheitelpunktform (siehe Antwort von Unknown).

Answer 2

Hi,

gehe wie folgt vor:

2x^2+8x    -6

= 2(x^2+4x)    -6          |  zur Vervollständigung der binomischen Formel fehlt Summand 4

= 2(x^2+4x+4-4)   -6

= 2((x+2)^2 - 4)    -6

= 2(x+2)^2 - 8    -6

= 2(x+2)^2 -14

Damit ist der Scheitelpunkt S(-2|-14), da ja y = a(x-d)^2+e mit S(d|e) gilt.

Grüße