Es seien ein Körper \( K \) und \( n \in \mathbb{N} \) mit \( n \geq 3 \) gegeben. Untersuchen Sie, ob die folgenden Teilmengen stets Untervektorräume von \( K^{n} \) sind.
\( \left\{x \in K^{n} \mid x_{3}=-1\right\} \)
\( \left\{x \in K^{n} \mid n x_{1}+(n-1) x_{2}+\ldots+1 x_{n}=-1\right\} \)
\( \left\{x \in K^{n} \mid(-1)^{2} x_{1}=(-1)^{3} x_{2}=\ldots=(-1)^{n+1} x_{n}\right\} \)
\( \left\{x \in K^{n} \mid x_{1} x_{2}+x_{2} x_{2}+\ldots+x_{n} x_{2}=0\right\} \)
\( \left\{x \in K^{n} \mid x_{1}^{n}=x_{2}^{n-1}=\ldots=x_{n}^{1}\right\} \)
Ich weiss, dass ich die Untervektorraumaxiome überprüfen muss, aber da hier K ein beliebiger Körper ist, wird es doch immer ein Körper geben, für welchen die Axiome erfüllt sind. Vielleicht kann es mir jemand anhand einer Teilaufgabe erklären.
