Nun, da die Grundfläche der Pyramide ein Quadrat ist, wird durch die drei gegebenen Eckpunkte ein gleichseitiges rechtwinkliges Dreieck bestimmt. Man muss nun noch feststellen, welche der Strecken AB, AC und BC die Hypotenuse ist.
Dazu genügt es, die Längen von zwei dieser Strecken zu bestimmen. Sind beide Längen gleich, dann ist die dritte Strecke die Hypotenuse, sind sie verschieden, dann ist die längere dieser beiden Strecke die Hypotenuse.
Also:
AB = B - A = ( 7 / - 6 / - 1 ) - ( 4 / 2 / 4 ) = ( 3 / - 8 / - 5 )
=> || AB || = √ ( 9 + 64 + 25 ) = √ 98
AC = C - A = ( - 2 / - 10 / 0 ) - ( 4 / 2 / 4 ) = ( -6 / - 12 / - 4 )
=> || AC || = √ ( 36 + 144 + 16 ) = √ 196
Also ist die Strecke AC die Hypotenuse und die Strecke BC muss ebenfalls die
Länge √ 98 haben.
[ Probe mit dem Satz des Pythagoras:
Es muss gelten: || AB || 2 + || BC || 2 = || AC || 2 also: 98 + 98 = 196 (korrekt) ]
Damit muss für den Punkt D ( d1 / d2 / d3 ) gelten:
|| AD || = || D - A || = || ( d1 - 4 / d2 - 2 / d3 - 4 ) || = √ 98
<=> ( d1 - 4 ) 2 + ( d2 - 2 ) 2 + ( d3 - 4 ) 2 = 98
und
|| CD || = || D - C || = || ( d1 - (- 2 ) / d2 - ( - 10 ) / d3 - 0 ) || = √ 98
<=> ( d1 + 4 ) 2 + ( d2 +10 ) 2 + d3 2 = 98
= √ 98
und
|| BD || = || D - B || = || ( d1 - 7 / d2 - ( - 6 ) / d3 - ( - 1 ) ) || = √ 196
<=> ( d1 - 7 ) 2 + ( d2 + 6 ) 2 + ( d3 + 1 ) 2 = 196
Das Gleichungssystem aus den drei blau gesetzten Gleichungen habe ich von WolframAlpha lösen lassen. Es ergibt sich:
d1 = - 5
d2 = - 2
d3 = 5
Also hat der Punkt D die Koordinaten:
D ( - 5 / - 2 / 5 )
Berechnung des Winkels alpha zwischen der Seitenkante AS und der Basis ABCD der Pyramide:
Sei h die Höhe der Pyramide und F der Fußpunkt der Höhe h.
Dann bilden die Höhe h der Pyramide, die Strecke AF (halbe Diagonale des Grundflächenquadrats) und die Seitenkante AS ein rechtwinkliges Dreieck mit AS als Hypotenuse. Somit ist die Höhe h Gegenkathete und AF Ankathete des Winkels alpha und es gilt:
tan ( alpha ) = h / || AF ||
<=> alpha = arctan ( h / || AF || )
Der Fußpunkt F der Höhe der Pyramide ergibt sich zu:
F = A + 0,5 AC = ( 4 / 2 / 4 ) + 0,5 ( -6 / - 12 / - 4 ) = ( 1 / - 4 / 2 )
Wenn die Spitze S die Koordinaten S ( 3 / - 7 / 8 ) hat (das habe ich nicht nachgerechnet), dann hat die Pyramide die Höhe
h = || FS || = || S - F || = || ( 3 / - 7 / 8 ) - ( 1 / - 4 / 2 ) || = || ( 2 / - 3 / 6 ) || = √ ( 4 + 9 + 36 ) = √ 49 = 7
Für die Strecke AF gilt:
|| AF || = 0,5 * || AC || = 0,5 * √ 196 = 7
Somit ergibt sich der Winkel alpha (siehe blau gesetzte Gleichung) zu:
alpha = arctan ( h / || AF || ) = arctan ( 7 / 7 ) = 45 °
Gleichungen der Ebenen
Ich nehme an, dass die 5 Begrenzungsebenen der Pyramide gemeint sind ... ?
Da man alle Eckpunkte der Pyramide kennt, kann man die Ebenengleichungen in Parameterform leicht durch die "vektorielle Drei-Punkte-Form" einer Ebene bestimmen. Diese lautet allgemein für drei Punkte X, Y, Z:
x = X + r ( Y - X ) + s ( Z - X )
Die gegebene Pyramide hat die Eckpunkte A, B, C, D, S sowie die Ebenen
E1 : ABC : x = A + r ( B - A ) + s ( C - A ) = ( 4 / 2 / 4 ) + r ( 3 / - 8 / - 5 ) + s ( - 6 / - 12 / - 4 )
E2 : ABS : x = A + r ( B - A ) + s ( S - A ) = ...
E3 : BCS
E4 : CDS
E5 : DAS
Die weitere Berechnung der Ebenen sowie, falls erforderlich, die Umformung der Gleichungen in die Koordinatenform überlasse ich nun mal dir zur Übung.
