Lineare Stabilitätsanalyse von DGL

Question

Betrachten Sie folgende Differentialgleichung \( (x \in \mathbf{R}) \) :

\( \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t} x=-x^{3}+x a \)

a) Berechnen Sie alle Fixpunkte \( x^{*} \) der DGL für \( a=4 \) und bestimmen Sie deren Stabilität.

b) Lösen Sie die Unteraufgabe (a) für beliebige \( a \in \mathbf{R} \).

c) Zeichnen Sie die Fixpunkte als Funktion des Parameters \( a: x^{*}=f(a), a \in \mathbf{R} \). Verwenden Sie dabei für stabile Fixpunkte durchgezogene Linien und für instabile Fixpunkte gestrichelte Linien.


Ansatz:

Ich würde die Zahlen einsetzen und dann ableiten, aber es kann nur nach t abgeleitet werden, also kann man gar nicht ableiten, oder?

-x³+xa
-x³+x*4
-3x²+4

instabil (Graph geht nach unten)

zu a) -3x²+4

zu b)

Je größer a ist desto weiter steigt die umgekehrte Parabel auf der y-Achse nach oben und umso kleiner bzw. negativer a ist z.B. -10 desto weiter sinkt die umgekehrte Parabel auf der y-Achse nach unten.

a∈ℝ

Answer 1

Hallo,

a)  0= -x^3+4x

x( -x^2 +4)=0

--------<

x1=0

x2= 2

x3= -2

b)0= -x^3+4a

a=0 --------->0= -x^3 ; -->x_1.2.3= 0

a=2--------->0= -x^3+8  -->x1=2 , x2,3=-1± i√3