Zeigen, dass arcosh(x) = ln(x+√(x^2-1)) ist

Question

Aufgabe:

Zeigen Sie, dass die unten angegebenen Gleichungen gelten, indem Sie zuerst in den Gleichungen

\(y=cosh(y)=\frac{1}{2}(e^y+e^{-y})\) und \(x=sinh(y)=\frac{1}{2}(e^g-e^{-g})\) mit u = e^g substituieren, nach u auflösen und dann zurücksubstituieren.

Es gilt:

\(arcosh(x)=ln(x+ \sqrt{x^2-1})\quad \text{für  } x \in ℝ, x ≥ 1  \) 

\(arsinh(x)=ln(x+\sqrt{x^2+1})\quad \text{für  } x \in ℝ\)

ichkomm ab cosh(y)=1/2(u + 1/u) nicht weiter.

vielen dank.

Answer 1

Hi immai,

 

Für den cosh(x) mal gezeigt.

 

x = cosh(y) = 1/2(e^y+e^{-y}) = 1/2(u+1/u)

 

Nach u auflösen:

x = 1/2(u+1/u)      |*u

ux = 1/2*u^2+1/2  |-ux, dann *2

u^2 - 2ux + 1 = 0  |pq-Formel

u_1,2 = x±√(x^2-1)

 

Nun noch resubstituieren:

u = e^y

y = ln(u) = ln(x+√(x^2-1)) = arcosh(x)

 

Für den sinh(x) funktioniert das genauso.

 

Grüße

Comments

Danke ich habnur nicht ganz verstamden wieso duarcosh geschrieben habt. Kannst du dir bitte auch schauen meine frage vorher bei aufgabe20 b ob meine zeichnungen von der form her richtig sind? Ich kannn leider kein link erstellen am handy app. Danke

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Und wieso hast du x= gemacht statt cosh(y)=? Wuerde das auch so gehen?.

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x = cosh(y)

Nach y aufgelöst ist das

arcosh(x) = y

 

Dabei ist letzteres die Umkehrfunktion vom cosh ;).

 

Und wieso hast du x= gemacht statt cosh(y)=? Wuerde das auch so gehen?.

Ich habe mit x = cosh(y) gerechnet, wobei mein Ziel war nach y aufzulösen. Mit dem Tipp habe ich die rechte Seite der Gleichung "direkt" umgeschrieben in die e-Funktion ;).