Kern und Bild der Abbildungen bestimmen, die linear sind.

Question

Wir sollen untersuchen ob es eine lineare Abbildung ist und wenn es eine ist  sollen wir den Kern und das Bild bestimmen.

a) Phi: R^2 -> R^3 , v -> (0, v1-v2,2*v2)^T , v =(v1,v2)^T Element R^2

b) Beta: R^2 -> R^2, u -> au mit a Element R

c) Alpha: R^2 -> R^3, v -> (v1*v2,v1+2*v2,3*v1)^T, v =(v1,v2)^T Element R^2

schonmal danke :)

Anmerkung:

^T bedeutet transponierte Zeilenvektoren. Also einfach vertikale Vektoren.

Comments

Meinst du mit ^T einen transponierten (vertikalen) Vektor?

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Ja genau, den normalen Vektor nur vertikal dargestellt.

Answer 1

ok. Dann schreib ich hier auch ^T

b) Beta: R^2 -> R^2, u -> au mit a Element R

ist auf jeden Fall eine lineare Abbildung.

Nämlich eine zentrische Streckung mit Zentrum (0,0).

Das Bild ist ganz R^2, falls a≠0 ist.

Der Kern nur (0,0)^T.

Beweis für Linearität:

Seien u,v Element R^2 und b Element R)

Beta(u+v) = a(u+v) = au + av = Beta(u) + Beta(v)

Beta(bv) = a(bv) = (ab)v = (ba)v = b(av) = b*Beta(v)

 

Spezialfall a=0

Bild: (0,0)^T

Kern: Ganz R^2

 

a) Phi: R^2 -> R^3 , v -> (0, v1-v2,2*v2)^T , v =(v1,v2)^T Element R^2

Die Bildvektoren der Basisvektoren

Phi((1,0)) = (0,1,0)^T

Phi((0,1))=(0,-1,2)^T

Somit hätte man bei einer linearen Abbildung die Abbildungsmatrix

    0    0
(   1   -1  )
    0   2

Das wäre eine lineare Abbildung.

Da die beiden Spaltenvektoren linear unabhängig sind, ist der Bildraum 2-dimensional, genauer: die Ebene mit folgender Parameterdarstellung:

E: r = a* (0,1,0)^T +b*(0,-1,2)^T

In Koordinatendarstellung gilt E: x=0.

Der Kern ist deshalb (0,0)^T

 

Probe

     0    0          v1            0
(   1   -1  ) *(  v2  ) = ( v1-v2  )
    0   2                           2*v2

 

Frage c scheint mir etwas heikler zu sein.
Aber vielleicht kommst du jetzt ja selbst weiter.

Comments

c) Alpha: R^2 -> R^3, v -> (v1*v2,v1+2*v2,3*v1)^T, v =(v1,v2)^T Element R^2 

 

Alpha((1,0)) = (0,1,3)^T

Alpha((0,1))=(0,2,0)^T

Somit hätte man bei einer linearen Abbildung die Abbildungsmatrix

    0    0 
(   1   2  ) 
    3   0

Das wäre eine lineare Abbildung.

Da die beiden Spaltenvektoren linear unabhängig sind, ist der Bildraum 2-dimensional, genauer: die Ebene mit folgender Parameterdarstellung:

E: r = a* (0,1,3)^T +b*(0,2,0)^T

In Koordinatendarstellung gilt E: x=0.

Probe versagt:

    0    0         v1            0                            Nach Def. ABER v1*v2
(   1   2  ) *(  v2  ) = ( v1+ 2*v2  ) 
    3   0                           3*v1

 

Ein Bsp., das die Linearität widerlegt, genügt:

Bild einer Summe von Vektoren = Summe der Bilder der beiden Vektoren

(1,0) + (0,1)=  (1,1) → ( 1,3,3)    ≠ (0,1,3) + (0,2,0)