Beweisen Sie, dass lineare Hülle L ein Untervektorraum von V ist.

Question

 Seien V ein Vektorraum über K und v₁....,v_r Vektoren aus V. Beweisen Sie, dass die lineare Hülle

L(v₁....,v_r) := {λ₁v₁ + .... + λ_rv_r | λ₁, .... , λ_r ∈ Κ }

ein Unterraum von V ist.

Comments

Hier musst du eigentlich nur die Kriterien für Untervektorraum von V testen / nachrechnen. Am besten so nummerieren wie im Skript.

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Was sind die Kriterien für Untervektorräume ? Skript ist leider nicht vorhanden :S

Dankee

Answer 1

Du musst zeigen

(1) L(v₁....,v_r) ist nicht leer

(2) a, b ∈L(v₁....,v_r) => a + b ∈L(v₁....,v_r)

(3) λ ∈K, a ∈L(v₁....,v_r) => λa ∈L(v₁....,v_r)

 

Tipps:

(1): Setze die $$\lambda_i = 0$$, dann ist der Nullvektor enthalten

(2): Setze für a, b beliebige Linearkombinationen und fasse die Koeffizienten bei a+b zusammen

(3): Multipliziere mit Lambda und fasse Koeffizienten zusammen

Answer 2

Zeige, dass L die Untervektorraumkriterien erfüllt, also:

1) L ≠ ∅

Beweis trivial: Jede beliebige Belegung der Variablen λ₁ ... λ_r  erzeugt ein Element von L

2) s , t ∈ L => u = s + t ∈ L

Beweis:

s ∈ L <=> s = λ_s1v₁ + .... + λ_srv_r

t ∈ L <=> t = λ_t1v₁ + .... + λ_trv_r

=> w = s + t = ( λ_s1v₁ + .... + λ_srv_r ) + ( λ_t1v₁ + .... + λ_trv_r  )

= ( λ_s1+ λ_t1) v₁+ .... + ( λ_sr+ λ_tr)

= λ_w1v₁ + .... + λ_wrv_r  ∈ L

3) a ∈ k , s ∈ L => t =  a * s ∈ L

Beweis:

s ∈ L <=> s = λ_s1v₁ + .... + λ_srv_r

=> t = a * s = a * ( λ_s1v₁ + .... + λ_srv_r )

= a λ_s1v₁ + .... + a λ_srv_r

= λ_t1v₁ + .... + λ_tv_r  ∈ L