Indirekter Beweis der Aufgabe

Question

Ich habe eine Aufgabe, bei der ich indirekt beweisen soll:

 

Es seien a₁,a₂, ... , a_m ∈ ℕ . Beweise : Gilt für ein n ∈ ℕ

    (i = 1 bis m) ∏ ( 1 + a_i) > 2ⁿ  , so folgt  (i =1 bis m) ∑ a_i  > n

Hinweis: Zeige zunähst (1+k) ≤ 2^k  ∀ k ∈ ℕ  mit vollständiger Induktion

 

Den Hinweis habe ich wie folgt gelöst:

I.A :  k=1 : 1+1 ≤ 2¹    ⇔  2≤2  ✓

I.V :  (1+k) ≤ 2^k  , ∀ k ∈ ℕ

I.S : k → k+1 :  1+k+1 ≤ 2^k+1  ⇔  (1+k) +1 ≤ 2^k *2    ⇔    1 ≤  2   ✓

 

Und wie mach ich jetzt weiter um die geforderte Aufgabe zu lösen?

Answer 1

nach Voraussetzung und dem Hinweis gilt$$\large2^n<\prod_{i=1}^m\left(1+a_i\right)\leq\prod_{i=1}^m2^{a_i}=2^{\sum\limits_{i=1}^m}\Leftrightarrow n<\sum_{i=1}^ma_i.$$