Zeigen Sie mittels Betrachtung der Unter- und Obersummen, dass die Funktion integrierbar ist

Question

Aufgabe:

(a) Zeigen Sie mittels Betrachtung der Unter- und Obersummen, dass die Funktion \( f:[0,1] \rightarrow \mathbb{R}, x \mapsto x^{2} \), integrierbar ist. Berechnen Sie den Wert des Integrals.

(b) Beweisen Sie die folgende Aussage:

Ist \( f:[0,1] \rightarrow \mathbb{R} \) stetig, dann existiert ein \( c \in] 0,1\left[\right. \) mit \( \int \limits_{0}^{1} x^{2} f(x) d x=\frac{f(c)}{3} \).

Answer 1

Hi,

 

Teil a)

die Riemannschen Ober- bzw. Untersumme berechnen sich für eine gegebene Zerlegung x_k des Intervalls [0,1] wie folgt,

siehe https://de.wikipedia.org/wiki/Riemannsches_Integral zu

 

$$ O(f)=\sum _{ k=1 }^{ n }{ ({ x }_{ k }-{ x }_{ k-1 }) } *\underset { { x }_{ k-1 }<x<{ x }_{ k } }{ sup } f(x) $$

und

$$ U(f)=\sum _{ k=1 }^{ n }{ ({ x }_{ k }-{ x }_{ k-1 }) } *\underset { { x }_{ k-1 }<x<{ x }_{ k } }{ inf } f(x) $$

Wähle als Zerlegung für das Intervall [0, 1] eine äquidistante Zerlegung mit $$ { x }_{ k }=\frac { 1 }{ n } $$
dann gilt

 

$$ O(f)=\sum _{ k=1 }^{ n }{ \frac { 1 }{ n } } * { \left( { \frac { k }{ n }  } \right)  }^{ 2 } = \frac { 1 }{ { n }^{ 3 } } *\frac { 1 }{ 6 } *n*(n+1)*(2n+1) $$

und

$$ U(f)=\sum _{ k=1 }^{ n }{ \frac { 1 }{ n } } * { \left( { \frac { k-1 }{ n }  } \right)  }^{ 2 } = \frac { 1 }{ { n }^{ 3 } } *\frac { 1 }{ 6 } *(n-1)*n)*(2n-1) $$

Beide Summen, die Ober- wie auch die Untersumme konvergieren gegen $$ \frac { 1 }{ 3 } $$ für n gegen unendlich.

Damit existiert das Integral und der Wert des Integrals beträgt $$ \frac { 1 }{ 3} $$

 

Teil b)

Hier musst Du den Mittelwertsatz der Integralrechnung in der Form

$$ \int _{ a }^{ b }{ f(x)g(x)dx= } f(c)\int _{ a }^{ b }{ g(x)dx } $$ für c aus [0, 1] mit a=0, b=1 und g(x)=x² und verwenden und benutzten, dass das Integral über x² nach Teil a) $$ \frac { 1 }{ 3 } $$ beträgt.