Question

Bestimmen sie Unter und Obersummen von f(x)=x^^2 zu äquidistanten zerlegungen des Intervalls [0,a] , 0<a.

Berechnen sie so das integral $$\int _{ 0 }^{ a }{ x^{ 2 } } dx$$

Hinwesi: $$ \sum _{ k=1 }^{ n }{ { k }^{ 2 } } =\quad \frac { 1 }{ 6 } n\quad (n+1)(2n+1) §§

Wäre gut wenn mir jemand helfen könnte. Danke..

Answer 1

Untersumme

∑ (k = 0 bis n - 1) (a/n·(k/n·a)^2) = - a^3/(2·n) + a^3/(6·n^2) + a^3/3

Obersumme

∑ (k = 1 bis n) (a/n·(k/n·a)^2) = a^3/(2·n) + a^3/(6·n^2) + a^3/3

Comments

Dankeschön.

Ist damit jetzt auch das ganze Integral berechnet, weil man soll das ja dann mit Hilfe von Ober- und Untersumme machen?

Gruß

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Das Integral erhalten wir wenn n gegen Unendlich geht als Grenzwert.

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also kann man das nicht genau aufschreiben, weil a unbekannt oder wie würde dann der Grenzwert sein?

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lim (n->∞) a³/(2·n) + a³/(6·n²) + a³/3 = a³/3

Ja. Das gibt hier keine festen Werte Weil es ja von a abhängig ist.