Ich dachte eigentlich an die folgenden Kriterien:
Sei \(V, +, \cdot)\) ein Vektorraum über einem Körper \(\mathbb{K}\). \(U\subseteq V\) ist ein Untervektorraum von V, wenn gilt:
\(0\in U\)
\(\forall u, v\in U: u+v\in U\)
\(\forall u\in U, \lambda \in\mathbb{K} :\lambda\cdot u\in U\)
Wir haben jetzt hier den Vektorraum \(C[-1,1]\) über dem Körper \(\mathbb{R}\) und wollen prüfen, ob \(W=\left\{ f\in C[-1,1] \left|f(-1)=-f(1) \right. \right\}\) ein Untervektorraum davon ist.
Zuerst gucken wir, ob das Nullelement enthalten ist. Das Nullelement aus \(C[-1,1]\) ist die konstante Nullfunktion. Ist diese auch in W enthalten?
Dann nehmen wir zwei Elemente \(f, g\in W\) (für diese Funktionen gilt also \(f(-1)=-f(1), g(-1)=-g(1)\)). Gilt das dann auch für die Summe \(f+g\), also gilt \((f+g)(-1)=-(f+g)(1)\)? Wenn ja, dann wäre auch \(f+g\in W\).
Als letztes nehmen wir eine reelle Zahl \(\lambda \in\mathbb{R}\) und eine Funktion \(f\in W\). Gilt dann \((\lambda \cdot f)(-1)=-(\lambda\cdot f)(1)\)? Wenn ja, dann ist \(\lambda \cdot f \in W\).
Diese Kriterien musst du jetzt prüfen. Wenn alle drei erfüllt sind, dann ist W ein Untervektorraum. Wenn eines nicht erfüllt ist, dann ist W keine Untervektorraum.
