Für welche Lambda gibt es eine stetige Funktion, welche Randwertaufgabe löst?

Question

Hi,
Könnte mir bitte jemand bei folgender Aufgabe helfen?
Leider gab es dazu bisher keine Theorie...

1.) Für welche $$\lambda \in \mathbb{R}$$ gibt es mindestens eine stetige Funktion $$\phi : [0,1] \rightarrow \mathbb{R}$$, die in ]0,1[ zweimal differenzierbar ist und die folgende Randwertaufgabe löst

$$\phi '' (x) = \lambda \phi (x)$$ für alle $$x \in ]0,1[,$$ $$\phi (0) = 0, \phi(1) = 1$$.

2.) Für welche $$\lambda \in \mathbb{R}$$ gibt es mehr als eine stetige Funktion $$\phi : [0,1] \rightarrow \mathbb{R}$$, die in ]0,1[ zweimal differenzierbar ist und die folgende Randwertaufgabe löst 
$$\phi '' (x) = \lambda \phi (x)$$ für alle $$x \in ]0,1[,$$ $$\phi (0) = 0, \phi(1) = 1$$.

Hinweis: Ansatz mit allgemeiner Lösung $$y''=\lambda y$$

Hoffentlich kann mir hier jemand helfen.

Vielen Dank schonmal im Voraus :)

Answer 1

Hi,
Du kannst die gegebene Dgl. in ein System erster Ordnung umschreiben, dann erhälts Du folgende Gleichung
$$ (1) \quad \begin{pmatrix} \dot \Phi(t) \\ \dot \Psi(t) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}  0 & 1 \\ \lambda & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \Phi(t) \\ \Psi(t) \end{pmatrix} $$
Zu der Matrix
$$ (2) \quad A = \begin{pmatrix}  0 & 1 \\ \lambda & 0 \end{pmatrix} $$
kann man die Eigenwerte \( \pm\sqrt{\lambda} \) und die Eigenvektoren \( \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{\lambda}} \\ 1 \end{pmatrix} \) und \( \begin{pmatrix} -\frac{1}{\sqrt{\lambda}} \\ 1 \end{pmatrix} \) ausrechnen.
Die allgemeine Lösung des Dgl. Systems ist die Linearkombination dieser beiden Lösungen und lautet
$$ (3) \quad c_1 \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{\lambda}} \\ 1 \end{pmatrix} e^{\sqrt{\lambda}t} + c_2 \begin{pmatrix} -\frac{1}{\sqrt{\lambda}} \\ 1 \end{pmatrix} e^{-\sqrt{\lambda}t} $$
Aus den Randbedingungen folgt mit
$$ (4) \quad \Phi(t) = c_1 \frac{1}{\sqrt{\lambda}} e^{\sqrt{\lambda}t} - c_2 \frac{1}{\sqrt{\lambda}} e^{-\sqrt{\lambda}t}  $$
das gelten muss
$$ (5) \quad \Phi(0) = 0 $$ und
$$ (6) \quad \Phi(1) = 1 $$
Aus den Gleichungen (5) und (6) kann man jetzt \( c_1 \) und \( c_2 \) in Abhängigkeit von \( \lambda \) bestimmen.
Es ergibt sich
$$ (7) \quad c_1(\lambda) = c_2(\lambda) = \frac{\sqrt{\lambda}}{2 \sinh(\sqrt{\lambda})} $$
Daraus ergibt sich die Lösung
$$  (8) \quad \Phi(t) = \frac{ \sinh(\sqrt{\lambda} \cdot t) } { \sinh(\sqrt{\lambda}) }  $$

Die Lösungen sehen für unterschiedliche Werte von \( \lambda > 0 \) so aus.

Comments

wie bekommst du die Eigenwerte ? Ich bekomme 0 und 1

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Weiß einer genau was bei 1) verlangt ist weil 2) ist ja so gesehn auch eine Lösung von 1)

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Macht für mich keinen Unterschied (1) und (2).

Zu den Eigenwerten, die müssen doch von \( \lambda \) abhängen. Insofern kann 0 und 1 nicht richtig sein.