Definitionslücke / hebbare Definitionslücke

Question

ich habe eine kleine Verständnisfrage zu einer Definition:
Diese lautet:

f(x) = g(x) / h(x)

"Ist x₀ eine Nullstelle von g und h und ist die Vielfachkeit der Nullstelle bei g größer gleich der bei h, so heißt x₀ eine behebbare Definitionslücke von f. Man kann dann nämlich die Funktion f bei x₀ stetig erweitern."

Was genau bedeutet das Wort Vielfachkeit in diesem Falle?

Vllt kann man es an diesem Beispiel gut erklären?:

f(x) = x³ - 6x² + 12x - 8 / (x² - 4)

Als Nullstelle bekommt man dann x₁=2 als Ergebnis und als Polstelle/Definitionslücke x₂=2 und x₃=-2

Als richtiges Ergebnis wird allerdings nur die Nullstelle x₁ = 2 und die Polstelle x₃ = -2 angegeben.

Wie kann ich nun erkennen, dass dort eine Vielfachkeit vorliegt?

Meine Vermutung: Ich kann die Funktion in f(x) = (x-2)³ / (x-2)² umschreiben, d.h. ich kann im Zähler x=2 3x einsetzen und im Nenner x=2 nur 2x und deshalb ist x=2 eine Nullstelle und keine Polstelle bzw. Definitionslücke?

Aber eine behhebbare Definitionslücke?

Answer 1

Meine Vermutung: Ich kann die Funktion in f(x) = (x-2)³ / (x-2)² umschreiben,

Genau!

Und um es noch weiter zu treiben:

f ( x ) = ( x - 2 )  ( x - 2 ) ( x - 2 ) / ( x - 2 ) ( x - 2 )

Die Zählerfunktion besteht also aus drei gleichen Linearfaktoren.
Und eben diese Anzahl gleicher Linearfaktoren in der Linearfaktorzerlegung einer Funktion f bezeichnet man als die Vielfachheit der dadurch beschriebenen Nullstelle.

Comments

Wäre es jetzt umgekehrt, also f(x) = ( x - 2 ) ( x - 2 ) / ( x - 2 ) ( x - 2 ) ( x - 2 )

dann wäre keine Nullstelle, sondern eine Polstelle/Definitionslücke?

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Ja, so ist es.