Injektivität von NxN -> N zeigen

Question

ich muss zeigen, dass f(a,b) = ((a+b)*(a+b+3))/2 eine injektiv ist.

ich würde jetzt zeigen dass für f(a,b) = f(c,d) gelten MUSS dass a=c und b=d.

Leider komme ich da nicht weiter.

Comments

Das kannst du auch nicht. Es ist \(f(a,b) = f(b,a)\) für alle \(a,b\in\mathbb N\).

Answer 1

Kein Wunder, denn f ( a , b ) ist keine injektive Funktion.

Denn (Gegenbeispiel):

f ( 2 , 3 ) = ( ( 2 + 3 ) * ( 2 + 3 + 3) ) / 2 = 5 * 8 / 2 = 20

f ( 3 ,2 ) =  ( ( 3 + 2 ) * ( 3 + 2 + 3) ) / 2 = 5 * 8 / 2 = 20

Das Element 20 des Zielbereichs hat also zwei verschiedene Urbilder, nämlich ( 2 , 3 ) und ( 3 , 2 )  Das aber widerspricht der Defintion der Injektivität, nach der jedes Element der Zielmenge höchstens ein Urbild haben darf.

Comments

Kleiner Vertipper: Einmal müsste da f(3,2) stehen. So hast du nur gezeigt, dass f(2,3)=20 und f(2,3)=20. Offensichtlich kein Widerspruch zur Injektivität. :D

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Kleiner Vertipper:

Nein, der typische Copy&Paste-Fehler. Ich hab's korrigiert ( in rot ). Danke für den Hinweis.

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Danke. Dann war das wohl eine Fangfrage!

und ich habe Stunden gegrübelt.