Bilden der Umkehrfunktion von f(x) = 2^x und f^{-1}(x^2) dann darstellen

Question

f(x)=2^x

 

a) Bilden Sie die Umkehrfunktion

b) Wie lauten die Definitionsbereiche  von f(x) und f ^-1(x^2)

 

c) Zeichen Sie beide Funktionen in ein Koordinatensystem

Comments

f ^-1(x)²

Was genau ist hier quadriert? Nur das x ?

Also f ^-1(x^2) ?

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Ja. Habe mich vertippt sorry.

Answer 1

f ( x ) = 2^x

a) Bilden Sie die Umkehrfunktion

y = 2^x
Umkehrfunktion
x = 2^y
ln( ( x ) = ln ( 2^y ) = y * ln ( 2 )
y = ln ( x ) / ln ( 2 )
f^{-1} ( x )  = ln ( x ) / ln ( 2 )

 

b) Wie lauten die Definitionsbereiche  von f(x) und f ^-1(x)²

D ( f ) = ℝ  ( keine Einschränkung  ) = W ( f^{-1} ) = ] - ∞; ∞ [
D ( f^{-1 } = ℝ^{+}  ( das Argument in ln ( ) muß > 0 null sein ) = W ( f ) = ] 0 ; ∞ [

c) Zeichen Sie beide Funktionen in ein Koordinatensystem

Oben rechts auf dieser Seite ist ein Funktionsplotter.

Ansonsten kann ich die Skizze auch nachliefern.

Bei Fehlern oder Fragen wieder melden.

mfg Georg

Comments

Schön gemacht! Schreib zur Unterscheidung von b) vielleicht explizit:

 

f^-1 (x) = ln ( x ) / ln ( 2 )

Wenn das Argument quadriert würde, müsste man die neg. x-Werte nicht ausschliessen. Man hätte dann aber auch nicht mehr bloss eine Umkehrfunktion bestimmt, sondern einfach eine neue Funktion.

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Bitte die Zeichnung noch, komme mit der eingabe beim Plotter nicht ganz zurrecht.

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Das sieht dann mit dem x^2 als Argument so aus: https://www.wolframalpha.com/input/?i=ln%28x%5E2%29+%2F+ln+2

blau: y = 2^x

rot: y = ln(x) / ln(2)    , Umkehrfunktion (gespiegelt an grün: y=x)

Lila: y = ln(x^2) / ln(2)

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@Lu
Je länger ich mir die Aufgabenstelleng anschaue desto wirrer
wird Sie für mich. Ich hatte leider das ^2 komplett als Tippfehler
angesehen und weggelassen.

f ( x ) =2^x
a) Bilden Sie die Umkehrfunktion
f^{-1} ( x ) = ln ( x ) / ln ( 2 )

b) Wie lauten die Definitionsbereiche  von f(x)
D f = ℝ
und
f^{-1} (x^2) . Dies müßte bedeuten
f^{-1} ( x^2 ) = ln ( x^2 ) / ln ( 2 )
dieser Ausdruck wäre für x <> 0 definiert.
Ist das mathematisch überhaupt eine
korrekte Funktionsschreibweise mit x^2.
f^{-1} ( x^2 ) = ln ( x^2 ) / ln ( 2 )
oder sollte man besser schreiben
g ( x ) = ln ( √ ( x^2 ) ) / ln ( 2 )

mfg Georg

Answer 2

a)

y = f ( x ) = 2 ^x

Auflösen nach x durch Logarithmieren:

<=> log ₂ ( y ) = log ₂ ( 2 ^x )

<=> log ₂ ( y ) = x * log ₂ ( 2 ) = x 

<=> x = f  ^-1 ( y ) = log ₂ ( y )

bzw. mit vertauschten Variablen:

f ^-1 ( x )  = log ₂ ( x )

b)

D_{f ( x )} = R

D _{f ^{- 1}( x )} = R⁺

c)

Siehe z.B. hier:

https://www.wolframalpha.com/input/?i=2^x%2Clog2%28x%29

(erstes Diagramm)