Umkehrfunktion von 1/ exp(x..)+1 bilden

Question

Bilde, wenn möglich die Umkehrfunktion:

\( f(x)=\frac{1}{\exp (-2 x+4)+1}, \quad x \in \mathbb{R} \)

Als erstes müsste ich ja bestimmen ob die Funktion bijektiv ist. Ich würde das mit der Monotonie feststellen. Wenn die ganze Ableitung monoton fallend oder wachsend ist, existiert ein  f^-1. Stimmt das so?

Wenn ich jetzt die erste Ableitung bilden will,  komme ich auf::  2* [ (exp(-2x+4) / ( exp(-2x+4)+1)² ]

Die will ich = 0 setzen ab da komme ich leider nicht weiter?

Wenn ich jetzt annehme, dass die Monotonie vorhanden ist, muss ich ja f(x) =y setzen und nach x auflösen. Danach Variablen Tausch und ich habe meine Umkehrfunktion.
Nur habe ich dann:  y= -0,5 ln(1/x)+2 heraus.  Als Basis habe ich: y= 1/(exp(-2x+4)+1) genommen und den Nenner mal genommen sodass y* exp(-2x+4) =1 dasteht und dann habe ich durch y geteilt. Daraus folgt  exp(-2x+4)=1/y. Danach habe ich den ln genommen und das hier bei herausbekommen:  -2x+4= ln(1/y). Dann noch -4 und geteilt durch -2 genommen.  x= -0,5*ln(1/y)+2

Nur entspricht die Df^-2 nicht Wf von f(x) ...Was habe ich falsch gemacht?

Answer 1

Hier meine Berechnung.



Für die Funktion
Definitionsbereich minus unendlich .. unendlich
Wertebereich : ] 0 ; 1 [

Für die Umkehrfunktion
Wertebereich minus unendlich .. unendlich
Definitionsbereich : ] 0 ; 1 [


Bei Fragen wieder melden.

Comments

Vielen Dank für die ausführliche Lösung. Super!

Answer 2

Hi,
die erste Ableitung ist richtig und sie ist überall größer als Null, deshalb ist die Funktiion injektiv und deshalb invertierbar. Bijektivität musst Du nicht nachweisen, dass hat nichts mit der Invertierbarkeit zu tun.

Mit dem Nenner mal nehmen ergibt \( y \cdot (e^{-2x+4}+1) = 1 \)  und nicht \( y \cdot e^{-2x+4} = 1  \)

Und was soll "Df^-2 nicht Wf von f(x) ... " bedeuten??

Comments

Ja die 1 haha :)

Der Definitionsbereich der Umkehrfunktion soll dem Definitionsbereich der Funktion entsprechen. Hab da ausversehen eine 2 getippt. Auch dir Danke :)

Answer 3

2* [ (exp(-2x+4) / ( exp(-2x+4)+1)² ]  ist sicherlich immer größer 0, da

e hoch irgendwas

immer größer 0 ist.

und der Nenner ist ja ein Quadrat.

y= 1/(exp(-2x+4)+1) genommen und den Nenner mal genommen sodass

y* (exp(-2x+4) + 1 ) =1 dasteht   Hier ist der Fehler!

und dann habe ich durch y geteilt. Daraus folgt  exp(-2x+4)=1/y. Danach habe ich den ln genommen und das hier bei herausbekommen:  -2x+4= ln(1/y). Dann noch -4 und geteilt durch -2 genommen.  x= -0,5*ln(1/y)+2

Comments

Hi vielen Dank :) Ja das ist mir leider erst aufgefallen als ich hier reingeschaut habe.

---

Wie sieht es bei

e^-unendlich aus?