Umkehrfunktion von f(t) = 1/t^2 - 4/t bilden…. bilden :/?

Question

Hi Leute!
ich soll die Umkehrfunktion von der Funktion
f(t) = 1/t^2 - 4/t bilden….

"Bestimmen Sie die Umkehrfunktion g von f" heißt es…nun weiß ich nicht genau wie ich vorgehen muss. Vor allem die Brüche bringen mich durcheinander. :/
Würde mich über jede Hilfe freuen. (Y)

Answer 1

Hi,

$$y = \frac{1}{t^2}-\frac4t$$

Vertauschen der Variablen:

$$t = \frac{1}{y^2} - \frac4y$$

mit y^2 multiplizieren

$$ty^2 = 1-4y \quad  |-1+4y$$

$$ty^2+4y-1 = 0$$

Mitternachtsformel:

$$y_{1,2}=\frac{-4\pm\sqrt{16+4t}}{2t} = \frac{-2\pm\sqrt{4+t}}{t}$$

Grüße

Answer 2

Hallo

Hilfreich ist vielleicht, grundsaetzlich die Exponentialschreibweise der Brüche zu benutzen ! Also 1/t^2 = t^-2,

dann ist das Bilden der Ableitungen sehr einfach:   (1/t^2)' = (t^-2)' =  -2 t^-3

 

Gesucht ist die Umkehrfunktion von f '', das sollte bedeuten.

f(t) = 1/t^2 -4/t = t^-2 -4 t^-1

f ' (t) = -2 t^-3 +4 t^-2

f ' ' (t) = 6 t^-4 -8 t^-3

6 t^-4 -8 t^-3 -f'' = 0

Um den Koeffizienten 1 vor der 4. Potenz zu erhalten, kann die Gleichung durch 6 geteilt werden:

t^-4 -8/6 t^-3 -1/6 * f '' = 0

Eine Gleichung 4. Grades ist nach dem Ansatz von Tartaglia (x^2 +P)^2 = (Q x +R)^2 für eine Gleichung der Form

x^4 + a2 x^2 +a1 x +a0 = 0

auflösbar.

Um diese Form zu erhalten, multiplizieren wir die Gleichung mit -6 / f '' * t^4 :

-6 / f '' +8 / f '' t +t^4 = 0

t^4 +8 / f '' t -6 / f '' = 0

Die Umkehrfunktion t ( f '' ) ergibt sich nach folgendem Ansatz von Tartaglia für ein gegebenes f '' = a

t^4 +8 / a t -6 /a =  (t^2 +P)^2 -(Q t +R)^2 = 0

Kannst Du durch Koeffizienten-Vergleich nach Aufloesung der beiden Quadrate zunächt einmal jeweils eine Bestimmungs-Gleichung (nicht notwendigerweise eine Auflösung von P, Q, und R) für die gesuchten Variablen P, Q und R finden ?