Umkehrfunktion für Funktionen mehrerer natürlicher Veränderlicher

Question

ich soll eine Umkehrfunktion für folgende Funktion finden:

\( f: \mathbf{N} \times \mathrm{N} \rightarrow \mathrm{N} \)

\( f(c, d)=\frac{(c+d)^{*}(c+d+1)}{2}+c \)

Eigentlich wird gefordert, dass man die Bijektivität zeigen soll.

Auf Rückfrage wurde mir nahegelegt, ich solle lieber eine Umkehrfunktion finden, da dass einfacher sei.

Eine ähnliche Frage wurde hier anscheinend auch schon gestellt (injektivität), aber das hat mir leider nicht geholfen.

Answer 1

Hast du denn den Link zum Beweis der Injektivität?

Du brauchst ja nur noch die Surjektivität. D.h. du musst für jedes beliebige y ein Paar (c,d) angeben können, so dass y rauskommt.

y = (c+d)(c+d+1)/2 + c

noch c und d umformen und dann benutzen, dass c,d und y nicht negativ sind.

Alternativ: Rechne einige y aus und schätze dann, was man machen muss, um von y zu c und d zu kommen.
y = (c+d)(c+d+1)/2 + c

(0,0) → 0*1/2 + 0 = 0

(0,1) → 1*2/2 + 0= 1

(1,0) → 1*2/2 + 1 = 2

(0,2) → 2*3/2 + 0 = 3

(1,1) → 2*3/2 + 1 = 4
(2,0) → 2*3/2 + 2 = 5

(0,3) → 3*4/2 + 0 = 6

(1,2) → 3*4/2 + 1 = 7

(2,1) → 3*4/ 2 + 2 = 8

Nun: wie kommst du zu 9 im Resultat?

und wie kommst du zu 100 im Resultat?

Allgemein formulieren: Du hast die Rechenvorschrift für die Umkehrfunktion.

Comments

(3,0)→3*4/2 + 3 = 9

(0,4) ---> 10
(1,3) ---> 11
(2,2) → 12
(3,1) ----->13

100? √200 = 14.14 1 subtrahieren und abrunden: Summe ist 13.

Test: (0,13) --->  13*14/2 + 0 = 91        ist noch zu klein: 9 addieren

(9,4) → 13*14/2 + 9 = 100.

Allgemein:

√(2y) berechnen. 1 Subtrahieren, abrunden ergibt s. Resultat s*(s+1)/2 ausrechnen.
y - s*(s+1)/2 = c

d = s-c.

Das ist die gewünschte Vorschrift zum Berechnen für c und d, wenn man y kennt.