Question

Der Schlitten einer Transporteinrichtung wird abgebremst. Dabei soll die Energie der geradlinigen Bewegung in einem Schwungrad aus Stahl, Breite b= 300mm (Vollzylinder) gespeichert werden. u= 500   1/min

Berechnen Sie den Schwungraddurchmesser !

Gegeben : m = 200 Kg

                    v = 40 m/min

                    Stahl = 7,85 Kg / dm^3

Answer 1

Der ungebremste Schlitten hat eine kinetische Energie von

E_kin = ( 1 / 2 ) * m * v ²

( mit m = 200 kg, v = 40 m/min = ( 2 / 3 ) m/s )

Diese Energie soll beim Abbremsen zum Stillstand von einem Schwungrad aufgenommen werden. Die Rotationsenergie E_rot dieses Schwungrades muss  beim Stillstand des Schlittens also geich der kinetischen Energie E_kin des ungebremsten Schlittens sein:

E_kin = E_rot

 

Für die Rotationsenergie gilt:

E_rot = ( 1 / 2 ) J ω ²

mit

J : Trägheitsmoment
ω : Winkelgeschwindigkeit
(vorliegend: 500 Umdr. / min , also ω = 500 * 2 π rad/min = ( 1000 / 60 ) π  rad/s = ( 100 / 6 ) π  rad/s )

Für das Trägheitsmoment J eines um seine Symmetrieachse rotierenden Vollzylinders mit der Masse m und dem Radius r gilt:

J = ( 1 / 2 ) m r ²

Somit gilt für die Rotationsenergie des betrachteten Schwungrades:

E_rot = ( 1 / 2 ) * ( 1 / 2 ) m_Schwungrad r ² ω ² = ( 1 / 4 ) m_Schwungrad r ² ω ²

 

Die Masse eines Vollzylinders ergibt sich als Produkt aus seinem Volumen V und seiner Dichte ρ

m = V * ρ

wobei sein Volumen V sich aus dem Radius r ergibt:

V = π * r ² * h

 

Beim hier betrachteten Schwungrad ist die Höhe h gleich der angegebenen Breite b = 300 mm = 0,3 m, sodass also gilt:

V_Schwungrad = π * r ² * 0,3

und damit

m_Schwungrad = V * ρ = π * r ² * 0,3 * ρ

und mit ρ = 7,85  kg/dm³ = 7,85 g/cm³ ergibt sich:

m_Schwungrad = V * ρ

= π * r ² * 0,3 * 7,85

= 2,355 * π * r ²

 

Damit ergibt sich die Rotationsenergie des hier betrachteten Schwungrades insgesamt zu:

E_rot = ( 1 / 4 ) m_Schwungrad r ² ω ²

= ( 1 / 4 ) * 2,355 * π * r ² * r ² ω ²

= 0,58875 * π * r ² * r ² ω ²

= 0,58875 * π * r ⁴ ω ²

 

Aus

E_kin = E_rot

ergibt sich also:

<=> ( 1 / 2 ) * m_Schlitten * v ² = 0,58875 * π * r ⁴ ω ²

Löst man nach r auf, erhält man:

<=> r ⁴ = ( ( 1 / 2 ) * m_Schlitten * v ² ) / ( 0,58875 * π * ω ² )

<=> r = ⁴√ [ ( ( 1 / 2 ) * m_Schlitten * v ² ) / ( 0,58875 * π * ω ² ) ]

Setzt man hier noch die bekannten bzw. oben berechneten Werte

m_Schlitten  = 200 kg

v = ( 2 / 3 ) m/s

ω = ( 100 / 6 ) π  rad/s

ein, so erhält man schließlich:

r = ⁴√ [ ( ( 1 / 2 ) * 200 * ( 4 / 9 ) ) / ( 0,58875 * π * ( 10000 / 36 ) π ² ) ]

= ⁴√ [ ( 400 / 9 ) / ( 0,58875 * π * ( 10000 / 36 ) π ² ) ]

≈  0,30597 m