Aufgabe - Ellipsenkonstruktionen:
1. Ein unendlich langer Zylinder vom Radius \( r \) mit der \( z \)-Achse als Mittelachse wird von einer Ebene durch den Ursprung mit einem Winkel \( \varphi \) zur \( x y \)-Ebene geschnitten, \( 0<\varphi<\pi / 2 \). Zeigen Sie, dass die Schnittkurve eine Ellipse ist. Wie groß sind die Halbmesser?
2. In der Ebene seien zwei Kreise \( K_{a} \) und \( K_{b} \) um den Ursprung vom Radius \( a \) bzw. \( b \) gegeben, \( a>b \). Es bezeichne \( S(\varphi) \) den Halbstrahl, der mit dem positiven Teil der \( x \)-Achse den Winkel \( \varphi \) einschließt, und \( A(\varphi) \) und \( B_{*}(\varphi) \) die Schnittpunkte von \( S(\varphi) \) mit \( K_{a} \) bzw. \( K_{b} \). Schließlich sei \( P(\varphi) \) der Schnittpunkt der Parallelen zur \( x \)-Achse durch \( B(\varphi) \) und der Parallelen zur \( y \)-Achse durch \( A(\varphi) \). Zeigen, dass die Punkte \( P(\varphi), \varphi \in \mathbb{R} \), eine Ellipse bilden. Wie groß sind die Halbmesser?
3. Auf einer beweglichen Geraden seien drei verschiedene Punkte \( A, B, P \) mit festem Abstand markiert. Die Gerade liege so in der Ebene, dass \( A \) auf der \( y \)-Achse und \( B \) auf der \( x \)-Achse liegt. Zeigen Sie, dass sich der Punkt \( P \) entlang einer Ellipse bewegt, wenn die Gerade verschoben wird. Wie groß sind die Halbmesser dieser Ellipse in Abhängigkeit von der relativen Lage der Punkte \( A, B \) und \( P \) auf der Geraden?
Eigentlich selbstverständlich: Fertigen Sie zu jeder Konstruktion eine saubere Zeichnung an.
